Resolva as seguintes equações lineares homogêneas de segunda ordem com coeficientes constantes.
(f) y^prime prime+2 pi y^prime+pi^2 y=0

Passo 1

O exercício pede para resolver a equação diferencial homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + 2pi y' + pi^2 y = 0
Esse é um problema de equações diferenciais lineares e vamos usar o método da equação característica para encontrar a solução geral.

Passo 2

O método da equação característica parte da suposição de uma solução do tipo y=e^rx. Substituindo na equação original, obtemos a equação algébrica
r^2 + 2pi r + pi^2 = 0
que chamamos de equação característica.

Passo 3

Agora calculamos as raízes de r^2 + 2pi r + pi^2 = 0. O discriminante é
De
Como De, há uma raiz dupla dada por
r = -2pi2 = -pi

Passo 4

Em casos de raiz dupla r1=r2=-pi, a forma da solução geral é
y(x) = (C1 + C2 x)e^r x
Substituindo r=-pi, concluímos que

Passo 5

final_answer

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