Resolva a seguinte desigualdade:
\frac{1}{|x+1||x-3|} \geq \frac{1}{5}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a desigualdade
\frac{1}{\lvert x+1\rvert\,\lvert x-3\rvert} \ge \frac{1}{5}.
O conteúdo aqui envolve manipular valores absolutos e inequações quadráticas. Vamos:
  1. Identificar o domínio (onde o denominador é diferente de zero).
  2. Transformar a desigualdade em uma condição sobre \lvert x+1\rvert\,\lvert x-3\rvert.
  3. Resolver a inequação resultante.

Passo 2

Primeiro, notamos que
\lvert x+1\rvert\,\lvert x-3\rvert>0
para todo x\neq -1,3. Logo, podemos multiplicar ambos os lados por \lvert x+1\rvert\,\lvert x-3\rvert sem inverter o sinal da desigualdade. Assim,
\frac{1}{\lvert x+1\rvert\,\lvert x-3\rvert} \ge \frac{1}{5} \quad\Longleftrightarrow\quad \lvert x+1\rvert\,\lvert x-3\rvert \le 5.

Passo 3

A condição \lvert x+1\rvert\,\lvert x-3\rvert \le 5 equivale a
\bigl\lvert (x+1)(x-3)\bigr\rvert \le 5 \quad\Longleftrightarrow\quad -5 \le (x+1)(x-3) \le 5.
Vamos resolver as duas pontas dessa dupla desigualdade.

Passo 4

Resolver (x+1)(x-3)\le 5. Expandindo:
(x+1)(x-3) - 5 \le 0 \;\Longrightarrow\; x^2 -2x -3 -5 \le 0 \;\Longrightarrow\; x^2 -2x -8 \le 0.
O polinômio x^2 -2x -8 tem raízes
x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2} = \frac{2 \pm 6}{2},
isto é, x=-2 e x=4. Como é uma parábola voltada para cima, ela fica abaixo ou igual a zero exatamente em
-2 \le x \le 4.

Passo 5

Resolver (x+1)(x-3)\ge -5. Expandindo:
(x+1)(x-3) + 5 \ge 0 \;\Longrightarrow\; x^2 -2x -3 +5 \ge 0 \;\Longrightarrow\; x^2 -2x +2 \ge 0.
O discriminante é \Delta = (-2)^2 -4\cdot1\cdot2 = 4 -8 = -4 <0, e o coeficiente de x^2 é positivo. Logo, x^2 -2x +2>0 para todo x. Essa desigualdade não impõe restrição adicional.

Passo 6

Da união das condições, obtemos
-2 \le x \le 4.
Mas lembramos que o domínio exclui x=-1 e x=3 (denominador zero). Portanto, a solução final é
[-2,-1)\,\cup\,(-1,3)\,\cup\,(3,4].

Resposta

[-2,-1)\,\cup\,(-1,3)\,\cup\,(3,4].

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