Considere a função f(x, y)=x y-y.
(a) (0.5) Calcule o gradiente \nabla \mathrm{f} de f .
(b) (2.5) Encontre os valores máximo e mínimo de f restrita à região \left\{(x, y):(x-1)^{2}+\frac{y^{2}}{4} \leq 1\right\}.

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y)=xy-y e pede em (a) o gradiente \nabla f e em (b) os valores máximo e mínimo de f restrita à região
(x-1)^{2}+\frac{y^{2}}{4}\le1.
O conteúdo usado será cálculo de gradiente, pontos críticos internos e método de Lagrange para otimização em fronteira.

Passo 2

Calculamos o gradiente de f pelas derivadas parciais:
\frac{\partial f}{\partial x}=y,\quad \frac{\partial f}{\partial y}=x-1.
Logo
\nabla f(x,y)=\bigl(y,\;x-1\bigr).

Passo 3

Procuramos pontos críticos internos resolvendo \nabla f=0:
y=0,\quad x-1=0 \quad\Longrightarrow\quad (x,y)=(1,0).
Esse ponto pertence à região pois (1-1)^2+0=0\le1. Em (1,0) vale
f(1,0)=1\cdot0-0=0.

Passo 4

Na fronteira usamos Lagrange com a restrição
g(x,y)=(x-1)^2+\frac{y^2}{4}-1=0.
O sistema \nabla f=\lambda\nabla g
y=2\lambda(x-1), \quad x-1=\lambda\frac{y}{2},
juntamente com g(x,y)=0.

Passo 5

Das duas primeiras equações obtemos
y^2=4(x-1)^2 \quad\Longrightarrow\quad y=\pm2(x-1).
Substituindo em g=0:
(x-1)^2+\frac{(\pm2(x-1))^2}{4}=2(x-1)^2=1 \quad\Longrightarrow\quad x-1=\pm\frac1{\sqrt2}, \quad y=\pm2(x-1)=\pm\sqrt2.
Isso gera quatro pontos na fronteira.

Passo 6

Em todos esses pontos vale
f(x,y)=xy-y=y(x-1).
Se y=2(x-1) então f=2(x-1)^2=1.
Se y=-2(x-1) então f=-2(x-1)^2=-1.

Passo 7

Comparando com o valor interno f(1,0)=0, concluímos que no domínio fechado
o valor máximo de f é 1 e o mínimo é -1.

Resposta

(a) \nabla f(x,y)=(y,\;x-1).
(b) \displaystyle f_{\min}=-1,\quad f_{\max}=1.

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