Considere a função
.
(a) (0.5) Calcule o gradiente
de f .
(b) (2.5) Encontre os valores máximo e mínimo de
restrita à região
.
(a) (0.5) Calcule o gradiente
(b) (2.5) Encontre os valores máximo e mínimo de
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede em (a) o gradiente
e em (b) os valores máximo e mínimo de
restrita à região
O conteúdo usado será cálculo de gradiente, pontos críticos internos e método de Lagrange para otimização em fronteira.
Passo 2
Calculamos o gradiente de
pelas derivadas parciais:
Logo
Passo 3
Procuramos pontos críticos internos resolvendo
:
Esse ponto pertence à região pois
. Em
vale
Passo 4
Na fronteira usamos Lagrange com a restrição
O sistema
dá
juntamente com
.
Passo 5
Das duas primeiras equações obtemos
Substituindo em
:
Isso gera quatro pontos na fronteira.
Passo 6
Em todos esses pontos vale
Se
então
.
Se então
.
Se
Passo 7
Comparando com o valor interno
, concluímos que no domínio fechado
o valor máximo de é
e o mínimo é
.
o valor máximo de
Resposta
(a)
.
(b) .
(b)