(2,5) A massa total de uma região E \subset \mathbb{R}^{3} com densidade \rho=\rho(x, y, z) é dada pela integral tripla:
m(E)=\iint_{E} \int \rho(x, y, z) d V
Qual a massa total da região delimitada pelo cilindro parabólico z=1-x^{2}, pelos planos y=1 e y=-1, acima do plano x y, com densidade \rho(x, y, z)=y^{2} e^{x} ?

Passo 1

O enunciado pede a massa total da região
E = \{(x,y,z)\mid -1\le y\le1,\,-1\le x\le1,\;0\le z\le1-x^2\}
com densidade \rho(x,y,z)=y^2e^x. Aqui vamos usar integração tripla em coordenadas cartesianas, decompondo em integrais iteradas.

Passo 2

Escrevemos o integral da massa como
m(E)=\int_{y=-1}^{1}\int_{x=-1}^{1}\int_{z=0}^{1-x^2}y^2e^x\,dz\,dx\,dy.

Passo 3

Calcular primeiro a integral em z:
\int_{z=0}^{1-x^2}y^2e^x\,dz =y^2e^x\bigl[z\bigr]_{0}^{1-x^2} =y^2e^x(1-x^2).

Passo 4

Então
m(E) =\int_{y=-1}^{1}y^2\,dy\;\int_{x=-1}^{1}(1-x^2)e^x\,dx.

Passo 5

Compute-se
\int_{y=-1}^{1}y^2\,dy =\Bigl[\tfrac{y^3}{3}\Bigr]_{-1}^{1} =\tfrac{1}{3}-\bigl(-\tfrac{1}{3}\bigr) =\tfrac{2}{3}.

Passo 6

Definimos
I=\int_{x=-1}^{1}(1-x^2)e^x\,dx =\int_{-1}^{1}e^x\,dx -\int_{-1}^{1}x^2e^x\,dx.

Passo 7

A primeira parte é
\int_{-1}^{1}e^x\,dx =\bigl[e^x\bigr]_{-1}^{1} =e-e^{-1}.

Passo 8

Para a segunda parte, use integração por partes em \int x^2e^x\,dx:
se u=x^2, dv=e^x\,dx, então du=2x\,dx, v=e^x,
\int x^2e^x\,dx =x^2e^x-\int2x e^x\,dx =x^2e^x-2\bigl(xe^x-e^x\bigr) =e^x(x^2-2x+2).
Avaliando de -1 a 1:
\int_{-1}^{1}x^2e^x\,dx =\bigl[e^x(x^2-2x+2)\bigr]_{-1}^{1} =\bigl[e\cdot1\bigr]-\bigl[e^{-1}\cdot5\bigr] =e-5e^{-1}.

Passo 9

Substituindo em I:
I=(e-e^{-1})-\bigl(e-5e^{-1}\bigr) =4e^{-1}.
Logo
m(E) =\frac{2}{3}\;I =\frac{2}{3}\cdot4e^{-1} =\frac{8}{3e}.

Resposta

\displaystyle \frac{8}{3e}

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