Resolva a seguinte EDO com condições iniciais:
y^prime prime prime+y=sin (x), y(0)=0, y^prime(0)=0, y^prime prime(0)=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária (EDO) que você me mandou. O enunciado pede para resolver a EDO de terceira ordem:
y''' + y = sin(x), y(0)=0, y'(0)=0, y''(0)=0
Aqui, vamos usar conhecimentos de EDOs com coeficientes constantes e aplicar condições iniciais para encontrar a solução completa. Vamos precisar encontrar a solução da equação homogênea associada e uma solução particular da equação completa. Depois, aplicamos as condições iniciais para determinar as constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
y''' + y = 0
Para resolver isso, encontramos a equação característica substituindo r^3 + 1 = 0 :
r^3 = -1 r = raiz[3]-1
Resolvendo essa equação para r1 = -1 r2 = 12 + iraiz32 r3 = 12 - iraiz32 :
Os valores de são as raízes cúbicas de -1, que são:

Passo 3

Com esses valores de yh(x) = C1 e^-x + e^x2 ( C2 cos(raiz32x) + C3 sin(raiz32x) ) , a solução geral da equação homogênea é:
Aqui, , e são constantes que vamos determinar mais pra frente.

Passo 4

Agora, precisamos encontrar uma solução particular da equação completa:
y''' + y = sin(x)
Como o lado direito é yp(x) = A cos(x) + B sin(x) , vamos assumir uma solução particular da forma:
Onde e são constantes que iremos encontrar.

Passo 5

Vamos calcular as derivadas de yp'(x) = -A sin(x) + B cos(x) yp''(x) = -A cos(x) - B sin(x) yp'''(x) = A sin(x) - B cos(x) :
y''' + y = A sin(x) - B cos(x) + A cos(x) + B sin(x) = (A + B) sin(x) + (A - B) cos(x)
Substituindo (A + B) sin(x) + (A - B) cos(x) = sin(x) e A + B = 1 A - B = 0 na equação original:
A = 12 B = 12
Igualando aos termos do lado direito yp(x) = 12 cos(x) + 12 sin(x) :
Isso nos dá o sistema de equações:
Resolvendo, temos:
Então, a solução particular é:

Passo 6

A solução geral da equação diferencial completa é a soma da solução homogênea com a particular:
y(x) = yh(x) + yp(x)
Substituindo y(x) = C1 e^-x + e^x2 ( C2 cos(raiz32x) + C3 sin(raiz32x) ) + 12 cos(x) + 12 sin(x) e :

Passo 7

Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar as constantes 0 = C1 + C2 + 12 , C1 + C2 = -12 (1) e y'(x) = -C1 e^-x + e^x2 ( 12 C2 cos(raiz32x) - raiz32 C2 sin(raiz32x) + 12 C3 sin(raiz32x) + raiz32 C3 cos(raiz32x) ) - 12 sin(x) + 12 cos(x) .
Primeiro, consideramos 0 = -C1 + 12 C2 + raiz32 C3 + 12 :
-C1 + 12 C2 + raiz32 C3 = -12 (2)
Então:
-C1 - 14 C2 - 34 C3 = -raiz32 (3)
Segundo, derivamos para encontrar e aplicamos .
Calculando :
Aplicando :
Então:
Terceiro, derivamos novamente para encontrar e aplicamos . Após os cálculos, encontramos uma terceira equação:

Passo 8

Agora, temos o sistema de equações para resolver:
C1 + C2 = -12 (1) -C1 + 12 C2 + raiz32 C3 = -12 (2) -C1 - 14 C2 - 34 C3 = -raiz32 (3)
Resolvendo o sistema:
Da equação (1), temos -(-12 - C2) + 12 C2 + raiz32 C3 = -12 12 + C2 + 12 C2 + raiz32 C3 = -12 32 C2 + raiz32 C3 = -1 (4) .
Substituindo na equação (2):
-(-12 - C2) - 14 C2 - 34 C3 = -raiz32 12 + C2 - 14 C2 - 34 C3 = -raiz32 34 C2 - 34 C3 = -raiz32 - 12 (5)
E substituindo 3 C2 + raiz3 C3 = -2 (6) na equação (3):
3 C2 - 3 C3 = -2raiz3 - 2 (7)
Multiplicando a equação (4) por 2 para simplificar:
9 C2 + 3raiz3 C3 = -6 (8)
E a equação (5) multiplicada por 4:
9 C2 + 3raiz3 C3 + 3 C2 - 3 C3 = -6 - 2raiz3 -2 12 C2 + (3raiz3 -3) C3 = -8 -2raiz3
Resolvendo as equações (6) e (7):
Multiplicamos a equação (6) por 3:
C2 = -12, C3 = raiz32, C1 = 0
Somando com a equação (7):
Simplificando e resolvendo, encontramos:

Passo 9

Substituindo esses valores na solução geral:
y(x) = 0 cdot e^-x + e^x2 ( -12 cos(raiz32x) + raiz32 sin(raiz32x) ) + 12 cos(x) + 12 sin(x)
Simplificando:
y(x) = -12 e^x2 cos(raiz32x) + raiz32 e^x2 sin(raiz32x) + 12 cos(x) + 12 sin(x)

Resposta

A solução da equação diferencial dada é:
y(x) = -12 e^x2 cos(raiz32x) + raiz32 e^x2 sin(raiz32x) + 12 cos(x) + 12 sin(x)

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