Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária (EDO) que você me mandou. O enunciado pede para resolver a EDO de terceira ordem:
Aqui, vamos usar conhecimentos de EDOs com coeficientes constantes e aplicar condições iniciais para encontrar a solução completa. Vamos precisar encontrar a solução da equação homogênea associada e uma solução particular da equação completa. Depois, aplicamos as condições iniciais para determinar as constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Para resolver isso, encontramos a equação característica substituindo :
Resolvendo essa equação para :
Os valores de são as raízes cúbicas de -1, que são:
Passo 3
Com esses valores de , a solução geral da equação homogênea é:
Aqui, , e são constantes que vamos determinar mais pra frente.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar uma solução particular da equação completa:
Como o lado direito é , vamos assumir uma solução particular da forma:
Onde e são constantes que iremos encontrar.
Passo 5
Vamos calcular as derivadas de :
Substituindo e na equação original:
Igualando aos termos do lado direito :
Isso nos dá o sistema de equações:
Resolvendo, temos:
Então, a solução particular é:
Passo 6
A solução geral da equação diferencial completa é a soma da solução homogênea com a particular:
Substituindo e :
Passo 7
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar as constantes , e .
Primeiro, consideramos :
Então:
Segundo, derivamos para encontrar e aplicamos .
Calculando :
Aplicando :
Então:
Terceiro, derivamos novamente para encontrar e aplicamos . Após os cálculos, encontramos uma terceira equação: