Determine a solução para:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial não homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
que envolve encontrar a solução geral (complementar + particular) e depois ajustar as constantes pelas condições iniciais.
Passo 2
Começamos pela equação homogênea associada
A equação característica é
cuja raiz dupla simples dá
Logo a solução complementar é
Passo 3
Para a solução particular usamos o método dos coeficientes a determinar. Supomos
$$y_p(x)=A\sin(x)+B\cos(x).
Igualando coeficientes dá o sistema
cuja solução é
e portanto
Passo 4
A solução geral da equação é a soma
Passo 5
Agora aplicamos as condições iniciais. Em
:
que leva ao sistema
$$
Resposta
A solução que satisfaz as condições iniciais é