Determine a solução para:
y^prime prime-3 y^prime+2 y=sin (x), y(0)=0, y^prime(0)=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial não homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y''-3y'+2y=sin(x), y(0)=0,;y'(0)=1,
que envolve encontrar a solução geral (complementar + particular) e depois ajustar as constantes pelas condições iniciais.

Passo 2

Começamos pela equação homogênea associada
y''-3y'+2y=0
A equação característica é
r^2-3r+2=0,
cuja raiz dupla simples dá
r=1e r=2
Logo a solução complementar é
yc(x)=C1e^x+C2e^2x

Passo 3

Para a solução particular usamos o método dos coeficientes a determinar. Supomos
$$y_p(x)=A\sin(x)+B\cos(x).
yp(x)=Asin(x)+Bcos(x) ãy_p’=A\cos(x)-B\sin(x),\quad y_p’’=-A\sin(x)-B\cos(x).
yp'=Acos(x)-Bsin(x), yp''=-Asin(x)-Bcos(x) (A+3B)\sin x+(-3A+B)\cos x=1\cdot\sin x+0\cdot\cos x.$$
Igualando coeficientes dá o sistema
y''-3y'+2y=sin x
cuja solução é
(A+3B)sin x+(-3A+B)cos x=1cdotsin x+0cdotcos x
e portanto
A+3B=1, -3A+B=0,

Passo 4

A solução geral da equação é a soma
y(x)=yc(x)+yp(x)=C1e^x+C2e^2x+tfrac110sin x+tfrac310cos x

Passo 5

Agora aplicamos as condições iniciais. Em x=0:
y(0)=C1+C2+tfrac310=0implies C1+C2=-tfrac310,
y'(x)=C1e^x+2C2e^2x+tfrac110cos x-tfrac310sin ximplies y'(0)=C1+2C2+tfrac110=1
que leva ao sistema
$$
C1+C2=-tfrac310, C1+2C2=tfrac910
C1=-tfrac32, C2=tfrac65C_1=-\tfrac{3}{2},\quad C_2=\tfrac{6}{5}.$$

Resposta

A solução que satisfaz as condições iniciais é
y(x)=-tfrac32e^x+tfrac65e^2x+tfrac110sin x+tfrac310cos x

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