Nome: Instruções: Prova^O Dtativa
  • Respostas
    Verifique se existe um campo vetorial F em R^3 tal que
    rot F=lang<= 3 x^2+e^(16+y^2 z^2), cos (x^2+z^2)-6 x y, ln (x^4 y^4+2)-12 zrang<=
    Explique.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se existe um campo vetorial F em R^3 tal que o rotacional de F , ou seja, rot F , seja igual ao vetor dado:
rot F = lang<= 3 x^2 + e^16 + y^2 z^2, cos(x^2 + z^2) - 6 x y, ln(x^4 y^4 + 2) - 12 z rang<=
Para resolver isso, vamos precisar entender sobre campos vetoriais, rotacional (ou curl) e divergência. Nosso objetivo é verificar se esse vetor pode ser o rotacional de algum campo vetorial F .

Passo 2

Primeiro, uma teoria básica: se um campo vetorial G é o rotacional de algum campo F , ou seja, G = rot F , então a divergência de G deve ser zero. Isso vem de uma identidade vetorial que diz que a divergência do rotacional de qualquer campo vetorial é sempre zero:
div(rot F) = 0
Então, se calcularmos a divergência do vetor dado e ela não for zero, já sabemos que não existe tal F .

Passo 3

Vamos calcular a divergência do vetor:
G = lang<= 3 x^2 + e^16 + y^2 z^2, cos(x^2 + z^2) - 6 x y, ln(x^4 y^4 + 2) - 12 z rang<=
A divergência de G é dada por:
div G = partialpartial x(3 x^2 + e^16 + y^2 z^2) + partialpartial y(cos(x^2 + z^2) - 6 x y) + partialpartial z(ln(x^4 y^4 + 2) - 12 z )
Vamos derivar cada termo:
  1. partialpartial x(3 x^2) = 6x
  2. partialpartial x(e^16 + y^2 z^2) = 0 (já que não depende de x )
  3. partialpartial y(cos(x^2 + z^2)) = 0 (não depende de y )
  4. partialpartial y(-6 x y) = -6x
  5. partialpartial z(ln(x^4 y^4 + 2)) = 0 (não depende de z )
  6. partialpartial z(-12 z) = -12
Agora, somando tudo:
div G = 6x + 0 - 6x + 0 - 12 = -12

Resposta

Como a divergência de G é -12 e não zero, não existe um campo vetorial F em R^3 tal que rot F seja igual ao vetor dado.

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