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Verifique se existe um campo vetorial
em
tal que
Explique.
Verifique se existe um campo vetorial
Explique.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se existe um campo vetorial
em
tal que o rotacional de
, ou seja,
, seja igual ao vetor dado:
Para resolver isso, vamos precisar entender sobre campos vetoriais, rotacional (ou curl) e divergência. Nosso objetivo é verificar se esse vetor pode ser o rotacional de algum campo vetorial
.
Passo 2
Primeiro, uma teoria básica: se um campo vetorial
é o rotacional de algum campo
, ou seja,
, então a divergência de
deve ser zero. Isso vem de uma identidade vetorial que diz que a divergência do rotacional de qualquer campo vetorial é sempre zero:
Então, se calcularmos a divergência do vetor dado e ela não for zero, já sabemos que não existe tal
.
Passo 3
Vamos calcular a divergência do vetor:
A divergência de
é dada por:
Vamos derivar cada termo:
-
-
(já que não depende de ) -
(não depende de ) -
-
(não depende de ) -
Agora, somando tudo:
Resposta
Como a divergência de
é
e não zero, não existe um campo vetorial
em
tal que
seja igual ao vetor dado.