Calcule os limites:
\lim _{x \rightarrow 0}\left(\operatorname{Cos}(x) e^{x^{2} / 2}\right)^{4 / x^{4}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x \to 0}\bigl(\cos(x)\,e^{x^{2}/2}\bigr)^{4/x^{4}}.
Este é um limite de tipo 1^{\infty}, típico de potenciais cujo expoente diverge. Para resolver, vamos usar a técnica de logaritmo e expansão em série de Taylor.

Passo 2

Chamando o limite de L, escrevemos
L=\lim_{x\to0}\bigl(\cos(x)\,e^{x^{2}/2}\bigr)^{4/x^{4}} =\exp\!\Bigl(\lim_{x\to0}\frac{4}{x^{4}}\ln\bigl(\cos(x)\,e^{x^{2}/2}\bigr)\Bigr).
Logo, precisamos achar
\lim_{x\to0}\frac{4}{x^{4}}\Bigl[\ln\bigl(\cos(x)\bigr)+\frac{x^{2}}{2}\Bigr].

Passo 3

Usamos a expansão em série de Taylor de \cos(x) em torno de 0:
\cos(x)=1-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{4}}{24}+O(x^{6}).
Tomando o logaritmo,
\ln\bigl(\cos(x)\bigr) =\ln\!\Bigl(1-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{4}}{24}+O(x^{6})\Bigr) =-\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{4}}{12}+O(x^{6}).

Passo 4

Somando \ln(\cos(x)) com x^{2}/2 obtém-se
\ln\bigl(\cos(x)\bigr)+\frac{x^{2}}{2} =-\frac{x^{4}}{12}+O(x^{6}).
Multiplicando por 4/x^{4} e fazendo x\to0,
\lim_{x\to0}\frac{4}{x^{4}}\Bigl(-\frac{x^{4}}{12}+O(x^{6})\Bigr) =-\frac{4}{12} =-\frac{1}{3}.

Passo 5

Substituindo de volta em L=\exp(\cdots), concluímos
L=\exp\Bigl(-\tfrac{1}{3}\Bigr)=e^{-1/3}.

Resposta

e^{-1/3}

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