Resolva em R a seguinte equação:
12^{\frac{1-x}{x}}=\frac{12}{12^{x}}\

Passo 1

O enunciado pede para resolver em \mathbb{R} a equação exponencial
12^{\frac{1-x}{x}} = \frac{12}{12^x}.
O conteúdo aqui é manipular potências de mesma base e usar a propriedade
\text{se }a^u = a^v,\;a>0,\;a\neq1,\text{ então }u=v.ã

Passo 2

Reescrevendo o segundo membro como potência de base 12, temos
\frac{12}{12^x} = 12^{1}\cdot 12^{-x} = 12^{1-x}.
Logo a equação fica
12^{\frac{1-x}{x}} = 12^{1-x}.

Passo 3

Como a base 12 é positiva e diferente de 1, igualamos os expoentes:
\frac{1-x}{x} = 1-x.
Multiplicando ambos os lados por x e rearranjando:
1 - x = x(1-x) \quad\Longrightarrow\quad 1 - x = x - x^2 \quad\Longrightarrow\quad x^2 - 2x + 1 = 0 \quad\Longrightarrow\quad (x-1)^2 = 0.
Portanto, a única solução dessa equação é
x = 1.

Passo 4

Verificamos o domínio: x\neq0, e para x=1 ambos os lados valem
12^{\tfrac{1-1}{1}} = 12^0 = 1 \quad\text{e}\quad \frac{12}{12^1} = 1.
Logo x=1 é solução válida.

Resposta

x = 1

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