Resolva em R as seguintes equações:
\log _{9}\left(\frac{x+1}{x+2}\right)=\frac{1}{2}

Passo 1

O enunciado pede para resolver em \mathbb{R} a equação
\log_{9}\Bigl(\frac{x+1}{x+2}\Bigr)=\frac{1}{2}.
O conteúdo principal é equação logarítmica. Vamos precisar (1) impor o domínio do logaritmo, (2) passar para forma exponencial e (3) resolver a equação resultante.

Passo 2

Determinamos o domínio exigindo que o argumento do logaritmo seja positivo e que o denominador não se anule:
\frac{x+1}{x+2}>0,\quad x\neq -2.
Analisando o sinal da fração, temos duas possibilidades:
  • x+1>0 e x+2>0, ou seja x>-1.
  • x+1<0 e x+2<0, ou seja x<-2.
    Logo, o domínio é
x\in(-\infty,-2)\cup(-1,\infty).

Passo 3

Aplicamos a definição de logaritmo, reescrevendo em forma exponencial:
\frac{x+1}{x+2}=9^{\frac12}.
Como 9^{\frac12}=3, obtemos a equação
\frac{x+1}{x+2}=3.

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados por (x+2) e resolvemos a equação linear:
x+1=3(x+2) \quad\Longrightarrow\quad x+1=3x+6 \quad\Longrightarrow\quad -2x=5 \quad\Longrightarrow\quad x=-\frac{5}{2}.

Passo 5

Verificamos se x=-\tfrac52 está no domínio (-\infty,-2)\cup(-1,\infty). Como -\tfrac52<-2, está permitido e torna o argumento do logaritmo igual a
\frac{-\tfrac52+1}{-\tfrac52+2} =\frac{-\tfrac32}{-\tfrac12}=3>0.
Tudo confere.

Resposta

x=-\frac{5}{2}.

Exercícios relacionados