Resolva o seguinte (PVI) dado, por separação de variável
d yd x=x y^3raiz1+x^2, y(0)=1

Passo 1

Estamos lidando com um Problema de Valor Inicial (PVI) que envolve uma equação diferencial. O objetivo é encontrar a função y(x) que satisfaz a equação
dydx = x y^3raiz1 + x^2,
com a condição inicial y(0) = 1 . Para resolver isso, vamos usar o método de separação de variáveis.

Passo 2

O primeiro passo no método de separação de variáveis é isolar todas as expressões que envolvem y de um lado e as que envolvem x do outro lado da equação. Começamos com:
dydx = x y^3raiz1 + x^2
Vamos reorganizar isso para separar as variáveis:
1y^3 , dy = xraiz1 + x^2 , dx

Passo 3

Agora que as variáveis estão separadas, vamos integrar ambos os lados da equação. Isso nos ajudará a encontrar uma relação entre y e x .
Integrando o lado esquerdo:
integral 1y^3 , dy
E integrando o lado direito:
integral xraiz1 + x^2 , dx

Passo 4

Vamos resolver a integral do lado esquerdo primeiro:
integral 1y^3 , dy = integral y^-3 , dy
Aplicando a regra da potenciação para integrais:
integral y^-3 , dy = y^-2-2 + C1 = -12 y^2 + C1

Passo 5

Agora, vamos resolver a integral do lado direito:
integral xraiz1 + x^2 , dx
Para facilitar, faremos uma substituição:
Seja u = 1 + x^2 , então du = 2x , dx ou du2 = x , dx .
Substituindo na integral:
integral xraiz1 + x^2 , dx = 12 integral duraizu = 12 cdot 2 raizu + C2 = raiz1 + x^2 + C2

Passo 6

Igualando as integrais dos dois lados:
-12 y^2 + C1 = raiz1 + x^2 + C2
Podemos simplificar juntando as constantes C1 e C2 em uma única constante C :
-12 y^2 = raiz1 + x^2 + C

Passo 7

Agora, vamos aplicar a condição inicial y(0) = 1 para encontrar o valor de C .
Substituindo x = 0 e y = 1 :
-12 (1)^2 = raiz1 + 0^2 + C implies -12 = 1 + C implies C = -32

Passo 8

Substituindo o valor de C na equação:
-12 y^2 = raiz1 + x^2 - 32
Multiplicando ambos os lados por -2 para simplificar:
1y^2 = -2 raiz1 + x^2 + 3

Passo 9

Finalmente, resolvemos para y :
y^2 = 13 - 2 raiz1 + x^2 implies y = raiz13 - 2 raiz1 + x^2

Resposta

A solução da equação diferencial com a condição inicial dada é
y(x) = raiz,1,3 - 2,raiz1 + x^2,,

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