Resolva o seguinte (PVI) dado, por separação de variável
Passo 1
Estamos lidando com um Problema de Valor Inicial (PVI) que envolve uma equação diferencial. O objetivo é encontrar a função
que satisfaz a equação
com a condição inicial
. Para resolver isso, vamos usar o método de separação de variáveis.
Passo 2
O primeiro passo no método de separação de variáveis é isolar todas as expressões que envolvem
de um lado e as que envolvem
do outro lado da equação. Começamos com:
Vamos reorganizar isso para separar as variáveis:
Passo 3
Agora que as variáveis estão separadas, vamos integrar ambos os lados da equação. Isso nos ajudará a encontrar uma relação entre
e
.
Integrando o lado esquerdo:
E integrando o lado direito:
Passo 4
Vamos resolver a integral do lado esquerdo primeiro:
Aplicando a regra da potenciação para integrais:
Passo 5
Agora, vamos resolver a integral do lado direito:
Para facilitar, faremos uma substituição:
Seja
, então
ou
.
Substituindo na integral:
Passo 6
Igualando as integrais dos dois lados:
Podemos simplificar juntando as constantes
e
em uma única constante
:
Passo 7
Agora, vamos aplicar a condição inicial
para encontrar o valor de
.
Substituindo
e
:
Passo 8
Substituindo o valor de
na equação:
Multiplicando ambos os lados por
para simplificar:
Passo 9
Finalmente, resolvemos para
:
Resposta
A solução da equação diferencial com a condição inicial dada é