Quando trabalhamos com uma EDO linear de segunda ordem homogênea
y^{\prime \prime}+p(t) y^{\prime}+q(t) y=0
sabemos que duas soluções y_{1}(t) e y_{2}(t) formam um conjunto fundamental de soluções (CFS) caso o Wronskiano dessas soluções
W\left(y_{1}, y_{2}\right)=y_{1} \cdot y_{2}^{\prime}-y_{1}^{\prime} \cdot y_{2}
seja não nulo em algum t. Nesses casos, a solução geral da EDO é dada por y(t)= c_{1} \cdot y_{1}+c_{2} \cdot y_{2}, sendo c_{1}, c_{2} \in \mathbb{R} constantes. Isso significa que toda solução da EDO necessariamente tem essa cara. Em cada caso abaixo, encontre um CFS para a EDO. Justifique.
(a) y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}-3 y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
y^{\prime\prime}-2y^{\prime}-3y=0
e pede que eu encontre um conjunto fundamental de soluções (CFS). Informações relevantes que temos:
  • A EDO é homogênea e com coeficientes constantes.
  • Preciso apresentar duas soluções y_{1}(t) e y_{2}(t) que sejam linearmente independentes (ou seja, cujo Wronskiano seja não nulo em algum t).
  • A resposta deve justificar por que essas duas funções formam um CFS.

Passo 2

Estratégia padrão (exposta passo a passo): tentar soluções da forma exponencial \;y(t)=e^{rt}\; com r constante. Por que essa escolha? Porque para equações lineares com coeficientes constantes, a derivada de e^{rt} é proporcional a e^{rt} (mesma função multiplicada por r ou r^2), o que simplifica muito ao substituir na EDO. Vou explicar com calma: se y=e^{rt} então
y' = r e^{rt},\qquad y'' = r^{2} e^{rt},
ou seja, todas as derivadas têm o mesmo fator e^{rt}, permitindo fatorá-lo e obter uma equação algébrica para r.

Passo 3

Substituo y=e^{rt}, y'=r e^{rt}, y''=r^{2}e^{rt} na EDO. Como e^{rt} nunca é zero, posso dividir por ele; obtenho a equação característica
r^{2}-2r-3=0.
Agora resolvo essa equação quadrática. Ela pode ser fatorada: procuro dois números cujo produto seja -3 e soma seja -2. Esses números são -3 e 1. Logo
r^{2}-2r-3=(r-3)(r+1)=0,
de onde os valores de r são
r=3\quad\text{e}\quad r=-1.

Passo 4

Cada raiz distinta r da equação característica fornece uma solução da EDO da forma \;e^{rt}\;. Assim obtemos duas soluções candidatas:
y_{1}(t)=e^{3t},\qquad y_{2}(t)=e^{-t}.
Vou verificar rapidamente que são soluções: para y_{1}=e^{3t} temos y_{1}'=3e^{3t}, y_{1}''=9e^{3t}. Substituindo na EDO:
9e^{3t}-2\cdot 3e^{3t}-3e^{3t}=(9-6-3)e^{3t}=0,
logo y_{1} é solução. Para y_{2}=e^{-t} temos y_{2}'=-e^{-t}, y_{2}''=e^{-t}. Substituindo:
e^{-t}-2(-e^{-t})-3e^{-t}=(1+2-3)e^{-t}=0,
logo y_{2} também é solução.

Passo 5

Agora preciso mostrar que y_{1} e y_{2} são linearmente independentes, isto é, que formam um CFS. Uso o Wronskiano
W\bigl(y_{1},y_{2}\bigr)(t)=y_{1}(t)\,y_{2}'(t)-y_{1}'(t)\,y_{2}(t).
Calculo as derivadas (já encontradas): y_{1}'(t)=3e^{3t} e y_{2}'(t)=-e^{-t}. Substituo:
W(t)=e^{3t}\cdot\bigl(-e^{-t}\bigr)-\bigl(3e^{3t}\bigr)\cdot e^{-t}.
Fatorando e^{3t}e^{-t}=e^{2t} obtemos
W(t)=\bigl(-1-3\bigr)e^{2t}=-4e^{2t}.

Passo 6

Interpretação do resultado do Wronskiano: como \;e^{2t}>0\; para todo t, segue que \;W(t)=-4e^{2t}\neq 0\; para todo t. Isso mostra que as soluções y_{1} e y_{2} são linearmente independentes em qualquer ponto t, portanto formam um conjunto fundamental de soluções da EDO. Consequentemente, a solução geral da EDO é
y(t)=c_{1}e^{3t}+c_{2}e^{-t},
com c_{1},c_{2}\in\mathbb{R}.

Resposta

y_{1}(t)=e^{3t},\;y_{2}(t)=e^{-t}

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