Quando trabalhamos com uma EDO linear de segunda ordem homogênea
sabemos que duas soluções
e
formam um conjunto fundamental de soluções (CFS) caso o Wronskiano dessas soluções
seja não nulo em algum
. Nesses casos, a solução geral da EDO é dada por
, sendo
constantes. Isso significa que toda solução da EDO necessariamente tem essa cara. Em cada caso abaixo, encontre um CFS para a EDO. Justifique.
(a)
(a)
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede que eu encontre um conjunto fundamental de soluções (CFS). Informações relevantes que temos:
- A EDO é homogênea e com coeficientes constantes.
- Preciso apresentar duas soluções
e que sejam linearmente independentes (ou seja, cujo Wronskiano seja não nulo em algum ). - A resposta deve justificar por que essas duas funções formam um CFS.
Passo 2
Estratégia padrão (exposta passo a passo): tentar soluções da forma exponencial
com
constante. Por que essa escolha? Porque para equações lineares com coeficientes constantes, a derivada de
é proporcional a
(mesma função multiplicada por
ou
), o que simplifica muito ao substituir na EDO. Vou explicar com calma: se
então
ou seja, todas as derivadas têm o mesmo fator
, permitindo fatorá-lo e obter uma equação algébrica para
.
Passo 3
Substituo
,
,
na EDO. Como
nunca é zero, posso dividir por ele; obtenho a equação característica
Agora resolvo essa equação quadrática. Ela pode ser fatorada: procuro dois números cujo produto seja
e soma seja
. Esses números são
e
. Logo
de onde os valores de
são
Passo 4
Cada raiz distinta
da equação característica fornece uma solução da EDO da forma
. Assim obtemos duas soluções candidatas:
Vou verificar rapidamente que são soluções: para
temos
,
. Substituindo na EDO:
logo
é solução. Para
temos
,
. Substituindo:
logo
também é solução.
Passo 5
Agora preciso mostrar que
e
são linearmente independentes, isto é, que formam um CFS. Uso o Wronskiano
Calculo as derivadas (já encontradas):
e
. Substituo:
Fatorando
obtemos
Passo 6
Interpretação do resultado do Wronskiano: como
para todo
, segue que
para todo
. Isso mostra que as soluções
e
são linearmente independentes em qualquer ponto
, portanto formam um conjunto fundamental de soluções da EDO. Consequentemente, a solução geral da EDO é
com
.