Nos problemas de 25 a 36 , calcule a derivada de cada função.
f(x)=x^2 raiz1-5 x^3(1-2 x)^3

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(x)=x²√(1−5x³)(1−2x)³; o conteúdo é derivada de produto e cadeia, e vamos precisar da regra do produto estendida para três fatores e da regra da cadeia para as potências.

Passo 2

Reescrevemos f(x) de modo explícito como produto de três funções:
f(x)=u(x)cdot v(x)cdot w(x)
onde
$$u(x)=x^2,
v(x)=(1-5x3){1/2},
w(x)=(1-2x)^3.$$

Passo 3

Aplicamos a regra do produto estendida:
f'(x)=u'(x)v(x)w(x)+u(x)v'(x)w(x)+u(x)v(x)w'(x)

Passo 4

Calculamos cada derivada parcial:
  • u'(x)=2x
    - Para v(x)= (1-5x^3)^1/2, usamos cadeia:
    v'(x)=tfrac12(1-5x^3)^-1/2cdot(-15x^2)=-15x^22(1-5x^3)^1/2
  • Para w(x)=(1-2x)^3, também cadeia:
w'(x)=3(1-2x)^2cdot(-2)=-6(1-2x)^2

Passo 5

Substituindo em f’(x) obtemos:
f'(x)=2x,(1-5x^3)^1/2(1-2x)^3 -15x^4(1-2x)^32(1-5x^3)^1/2 -6x^2(1-2x)^2(1-5x^3)^1/2

Passo 6

Se quisermos, podemos fatorar x(1-2x)^2(1-5x^3)^1/2 para simplificar ainda mais, mas a forma acima já é uma expressão correta para f’(x).

Resposta

f'(x)=2x(1-5x^3)^1/2(1-2x)^3 - 15x^4(1-2x)^32(1-5x^3)^1/2 -6x^2(1-2x)^2(1-5x^3)^1/2

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