Encontre a solução geral da equação:
y^(4)+4 y^(3)+6 y^prime prime+4 y^prime+y=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO de quarta ordem homogênea com coeficientes constantes: y^(4) + 4y^(3) + 6y'' + 4y' + y = 0. Vamos usar o método do polinômio característico para resolver.

Passo 2

Escrevemos o polinômio característico associado à EDO:
r^4 + 4r^3 + 6r^2 + 4r + 1 = 0

Passo 3

Repare que esse polinômio é o mesmo de (r + 1)^4, pois
(r + 1)^4 = r^4 + 4r^3 + 6r^2 + 4r + 1
Logo, a única raiz é r = -1 com multiplicidade 4.

Passo 4

Para uma raiz real r0 de multiplicidade m, a solução geral inclui termos
e^r0 x, x e^r0 x, x^2 e^r0 x, dots, x^m-1 e^r0 x

Passo 5

Como aqui r0 = -1 e m = 4, a solução geral é dada por combinações lineares de e^-x, xe^-x, x^2 e^-x, x^3 e^-x.

Resposta

y(x) = C1 e^-x + C2 x e^-x + C3 x^2 e^-x + C4 x^3 e^-x

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