Resolva a seguinte equação diferencial 
  
  dada a condiçào inicial 
 
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma equação diferencial de primeira ordem:
com a condição inicial 
 . Vamos resolver essa equação usando o método do fator integrante, um método padrão para equações lineares de primeira ordem.
Passo 2
Primeiro, identificamos os termos da equação na forma padrão:
Aqui, 
  e 
 . Nosso objetivo é encontrar uma função que, ao multiplicar toda a equação, facilite a resolução.
Passo 3
Calculamos o fator integrante 
 , que é dado por:
Esse fator vai nos ajudar a transformar a equação diferencial em algo mais simples de resolver.
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
Passo 5
Observamos que o lado esquerdo da equação é a derivada do produto 
 :
Isso facilita a integração dos dois lados da equação.
Passo 6
Integrando ambos os lados em relação a 
 :
Simplificando:
onde 
  é a constante de integração.
Passo 7
Para resolver a integral 
 , usamos a técnica de integração por partes. Seja:
Passo 8
Aplicando a fórmula de integração por partes 
 :
Passo 9
Substituímos a integral resolvida de volta na equação original:
Passo 10
Isolamos 
  dividindo ambos os lados por 
 :
Passo 11
Aplicamos a condição inicial 
  para encontrar o valor de 
 :
Resposta
A solução da equação diferencial com a condição inicial dada é: