Resolva a seguinte equação integral y(t)=5 t+\int_{0}^{t} y(\tau) \operatorname{sen}(t-\tau) d \tau.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação integral
y(t)=5t+\int_{0}^{t} y(\tau)\sin(t-\tau)\,d\tau.
O que o problema pede é encontrar a função y(t) que satisfaz essa igualdade para t\ge 0.
Informações fornecidas:
  • O termo não homogêneo é 5t.
  • A integral é do tipo \displaystyle\int_{0}^{t} y(\tau)\sin(t-\tau)\,d\tau, ou seja, o núcleo depende de t-\tau.
  • Não foram dadas condições iniciais explícitas, mas podem ser obtidas da própria equação avaliando em t=0.

Passo 2

Vou obter condições iniciais avaliando a equação em t=0. Substituindo t=0 na equação original:
y(0)=5\cdot 0+\int_{0}^{0} y(\tau)\sin(0-\tau)\,d\tau=0+0=0.
Logo,
y(0)=0.

Passo 3

Para transformar a equação integral em uma equação diferencial, vou diferenciar ambos os lados em relação a t. Antes, explico a ferramenta que uso: regra de diferenciação de uma integral com limite superior variável e núcleo que depende de t e \tau. Para
I(t)=\int_{0}^{t} f(t,\tau)\,d\tau,
a regra de Leibniz diz que
I'(t)=f(t,t)+\int_{0}^{t}\frac{\partial}{\partial t} f(t,\tau)\,d\tau.
No nosso caso f(t,\tau)=y(\tau)\sin(t-\tau). Observe que y(\tau) é visto como função de \tau ao diferenciar em t.
Agora diferencio a equação original. Denote
I(t)=\int_{0}^{t} y(\tau)\sin(t-\tau)\,d\tau.
Pela regra acima,
I'(t)=y(t)\sin(0)+\int_{0}^{t} y(\tau)\cos(t-\tau)\,d\tau=0+\int_{0}^{t} y(\tau)\cos(t-\tau)\,d\tau.
Portanto, diferenciando a equação y(t)=5t+I(t) obtemos
y'(t)=5+\int_{0}^{t} y(\tau)\cos(t-\tau)\,d\tau.

Passo 4

Vou diferenciar uma segunda vez para eliminar a integral. Defina
J(t)=\int_{0}^{t} y(\tau)\cos(t-\tau)\,d\tau.
Aplicando novamente a regra de Leibniz:
J'(t)=y(t)\cos(0)+\int_{0}^{t} y(\tau)\left(-\sin(t-\tau)\right)\,d\tau = y(t)-\int_{0}^{t} y(\tau)\sin(t-\tau)\,d\tau.
Mas a integral \displaystyle\int_{0}^{t} y(\tau)\sin(t-\tau)\,d\tau é exatamente I(t), e pela equação original I(t)=y(t)-5t. Substituindo isso em J'(t)
J'(t)=y(t)-(y(t)-5t)=5t.
Como y'(t)=5+J(t), diferenciando obtemos
y''(t)=J'(t)=5t.
Portanto chegamos a uma equação diferencial ordinária simples:
y''(t)=5t.

Passo 5

Agora resolvo a equação diferencial y''(t)=5t. Isso é apenas integrar duas vezes.
Integro uma vez para obter y'(t):
y'(t)=\int 5t\,dt=\frac{5}{2}t^{2}+C_{1},
onde C_{1} é constante de integração.
Usarei a condição inicial para y'(0). Para encontrar y'(0), volte à expressão do Passo 3 em t=0:
y'(0)=5+\int_{0}^{0} y(\tau)\cos(0-\tau)\,d\tau=5+0=5.
Aplicando t=0 em y'(t) obtemos y'(0)=C_{1}=5. Assim
y'(t)=\frac{5}{2}t^{2}+5.

Passo 6

Integro novamente para obter y(t):
y(t)=\int\left(\frac{5}{2}t^{2}+5\right)dt=\frac{5}{6}t^{3}+5t+C_{2},
onde C_{2} é outra constante de integração. Usando y(0)=0 (obtido no Passo 2) temos C_{2}=0. Portanto
y(t)=\frac{5}{6}t^{3}+5t.

Passo 7

Checagem e justificativa de validade: a dedução da equação diferencial a partir da equação integral foi feita por diferenciação legítima (Leibniz), e as condições iniciais y(0) e y'(0) foram obtidas diretamente da equação integral. Como resolvemos a ODE com essas condições e obtivemos y(t)=\dfrac{5}{6}t^{3}+5t, essa função satisfaz a ODE e as condições iniciais. Para equações integrais de Volterra com núcleo contínuo esse procedimento produz a solução única, então a função encontrada é a solução da equação integral original.

Resposta

y(t)=\frac{5}{6}t^{3}+5t

Exercícios relacionados