Resolva a seguinte equação integral
.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação integral
O que o problema pede é encontrar a função
que satisfaz essa igualdade para
.
Informações fornecidas:
Informações fornecidas:
- O termo não homogêneo é
. - A integral é do tipo
, ou seja, o núcleo depende de . - Não foram dadas condições iniciais explícitas, mas podem ser obtidas da própria equação avaliando em
.
Passo 2
Vou obter condições iniciais avaliando a equação em
. Substituindo
na equação original:
Logo,
Passo 3
Para transformar a equação integral em uma equação diferencial, vou diferenciar ambos os lados em relação a
. Antes, explico a ferramenta que uso: regra de diferenciação de uma integral com limite superior variável e núcleo que depende de
e
. Para
a regra de Leibniz diz que
No nosso caso
. Observe que
é visto como função de
ao diferenciar em
.
Agora diferencio a equação original. Denote
Pela regra acima,
Portanto, diferenciando a equação
obtemos
Passo 4
Vou diferenciar uma segunda vez para eliminar a integral. Defina
Aplicando novamente a regra de Leibniz:
Mas a integral
é exatamente
, e pela equação original
. Substituindo isso em
dá
Como
, diferenciando obtemos
Portanto chegamos a uma equação diferencial ordinária simples:
Passo 5
Agora resolvo a equação diferencial
. Isso é apenas integrar duas vezes.
Integro uma vez para obter
:
onde
é constante de integração.
Usarei a condição inicial para
. Para encontrar
, volte à expressão do Passo 3 em
:
Aplicando
em
obtemos
. Assim
Passo 6
Integro novamente para obter
:
onde
é outra constante de integração. Usando
(obtido no Passo 2) temos
. Portanto
Passo 7
Checagem e justificativa de validade: a dedução da equação diferencial a partir da equação integral foi feita por diferenciação legítima (Leibniz), e as condições iniciais
e
foram obtidas diretamente da equação integral. Como resolvemos a ODE com essas condições e obtivemos
, essa função satisfaz a ODE e as condições iniciais. Para equações integrais de Volterra com núcleo contínuo esse procedimento produz a solução única, então a função encontrada é a solução da equação integral original.