Usando convolução calcule a transformada inversa das seguintes funções:
(b) \frac{s}{\left(s^{2}+1\right)(s-3)}’
Passo 1
O enunciado pede a transformada inversa (no tempo) da função
F(s)=\frac{s}{\left(s^{2}+1\right)(s-3)}
e especifica que se deve usar convolução. A informação dada é apenas a expressão de F(s). O objetivo final é encontrar f(t)=\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\} para t\ge 0.
Passo 2
Vamos reescrever F(s) como produto de duas funções em s cujas transformadas inversas conhecemos:
F(s)=\frac{s}{s^{2}+1}\cdot\frac{1}{s-3}.
Aqui estou apenas reorganizando a expressão algébrica, sem calcular nada ainda.
Passo 3
Explicando a ferramenta que vamos usar (convolução), sem pular etapas:
Se F(s)=G(s)H(s) e g(t)=\mathcal{L}^{-1}\{G(s)\}, h(t)=\mathcal{L}^{-1}\{H(s)\}, então
Isto é a Teorema da Convolução para a transformada de Laplace. Aqui g(\tau) e h(\tau) são as funções tempo-correspondentes às transformadas G(s) e H(s).
Identificamos as transformadas inversas conhecidas:
\mathcal{L}\{(-3/10)\cos t\}=-\dfrac{3}{10}\cdot\dfrac{s}{s^{2}+1}.
Somando e reduzindo ao mesmo denominador (s^{2}+1)(s-3) obtém-se exatamente \dfrac{s}{(s^{2}+1)(s-3)}. Isso confirma que a resposta está correta.
Resposta
f(t)=\frac{3}{10}e^{3t}+\frac{1}{10}\sin t-\frac{3}{10}\cos t