Usando convolução calcule a transformada inversa das seguintes funções:
(b) \frac{s}{\left(s^{2}+1\right)(s-3)}

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa (no tempo) da função
F(s)=\frac{s}{\left(s^{2}+1\right)(s-3)}
e especifica que se deve usar convolução. A informação dada é apenas a expressão de F(s). O objetivo final é encontrar f(t)=\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\} para t\ge 0.

Passo 2

Vamos reescrever F(s) como produto de duas funções em s cujas transformadas inversas conhecemos:
F(s)=\frac{s}{s^{2}+1}\cdot\frac{1}{s-3}.
Aqui estou apenas reorganizando a expressão algébrica, sem calcular nada ainda.

Passo 3

Explicando a ferramenta que vamos usar (convolução), sem pular etapas:
  • Se F(s)=G(s)H(s) e g(t)=\mathcal{L}^{-1}\{G(s)\}, h(t)=\mathcal{L}^{-1}\{H(s)\}, então
\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\} = (g*h)(t) = \int_{0}^{t} g(\tau)\,h(t-\tau)\,d\tau.
Isto é a Teorema da Convolução para a transformada de Laplace. Aqui g(\tau) e h(\tau) são as funções tempo-correspondentes às transformadas G(s) e H(s).
Identificamos as transformadas inversas conhecidas:
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{s}{s^{2}+1}\right\}=\cos t, \qquad \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s-3}\right\}=e^{3t}.
(Recordando: \mathcal{L}\{\cos t\}=s/(s^{2}+1) e \mathcal{L}\{e^{3t}\}=1/(s-3) para s>3.)

Passo 4

Aplicando a convolução:
f(t)=\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\} =\int_{0}^{t} \cos(\tau)\, e^{3(t-\tau)}\,d\tau.
Este é o integral de convolução que precisamos calcular. Vou manipular o integrando para facilitar:
\cos(\tau)\, e^{3(t-\tau)} = e^{3t}\, e^{-3\tau}\cos\tau,
portanto
f(t)=e^{3t}\int_{0}^{t} e^{-3\tau}\cos\tau\,d\tau.

Passo 5

Agora calculamos o integral
I(t)=\int_{0}^{t} e^{-3\tau}\cos\tau\,d\tau.
Para achar uma primitiva de e^{-3\tau}\cos\tau usamos o método de coeficientes indeterminados: suponha
F(\tau)=e^{-3\tau}\big(a\cos\tau + b\sin\tau\big)
é uma primitiva. Computando a derivada:
F'(\tau)=e^{-3\tau}\big((-3a+b)\cos\tau + (-3b-a)\sin\tau\big).
Queremos F'(\tau)=e^{-3\tau}\cos\tau, logo o sistema para a,b é
-3a + b = 1, \qquad -3b - a = 0.
Da segunda equação vem a=-3b. Substituindo na primeira:
-3(-3b) + b = 1 \quad\Rightarrow\quad 9b + b = 1 \quad\Rightarrow\quad 10b=1 \quad\Rightarrow\quad b=\tfrac{1}{10}.
Então a=-3b=-\tfrac{3}{10}. Assim uma primitiva é
F(\tau)=\frac{e^{-3\tau}}{10}\big(-3\cos\tau + \sin\tau\big).
Portanto o integral definido é
I(t)=\left. \frac{e^{-3\tau}}{10}\big(-3\cos\tau + \sin\tau\big)\right|_{0}^{t} =\frac{1}{10}\Big(e^{-3t}(-3\cos t + \sin t) - (-3)\Big).
Simplificando:
I(t)=\frac{1}{10}\Big(e^{-3t}(-3\cos t + \sin t) + 3\Big).

Passo 6

Volta para f(t)=e^{3t}I(t):
f(t)=e^{3t}\cdot\frac{1}{10}\Big(e^{-3t}(-3\cos t + \sin t) + 3\Big).
Multiplicando e simplificando os termos:
f(t)=\frac{1}{10}\big(-3\cos t + \sin t\big) + \frac{3}{10}e^{3t}.
Organizando de forma bonita:
f(t)=\frac{3}{10}e^{3t}+\frac{1}{10}\sin t-\frac{3}{10}\cos t.

Passo 7

(Check rápido para ter confiança: fazer a transformada direta de f(t) recupera F(s).)
  • \mathcal{L}\{(3/10)e^{3t}\}=\dfrac{3}{10}\cdot\dfrac{1}{s-3}.
  • \mathcal{L}\{(1/10)\sin t\}=\dfrac{1}{10}\cdot\dfrac{1}{s^{2}+1}.
  • \mathcal{L}\{(-3/10)\cos t\}=-\dfrac{3}{10}\cdot\dfrac{s}{s^{2}+1}.
    Somando e reduzindo ao mesmo denominador (s^{2}+1)(s-3) obtém-se exatamente \dfrac{s}{(s^{2}+1)(s-3)}. Isso confirma que a resposta está correta.

Resposta

f(t)=\frac{3}{10}e^{3t}+\frac{1}{10}\sin t-\frac{3}{10}\cos t

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