Usando convolução calcule a transformada inversa das seguintes funções:
(a)
(a)
Passo 1
O que o problema pede e o que nos é dado.
- Pede: calcular a transformada inversa (inversa da transformada de Laplace) de
- Informação disponível: a função no domínio de
está escrita como produto de dois fatores simples e . - Observação importante: vamos usar explicitamente o método pedido — convolução — para obter a função no domínio do tempo.
Passo 2
Lembrete / revisão sobre transformada de Laplace e o teorema da convolução (explicação didática).
- Definição da transformada de Laplace: para uma função causal
(isto é, para ), Aqui é a variável complexa do domínio de Laplace e é a variável do tempo. - Teorema da convolução (forma prática): se
e , então o produto tem como transformada inversa a convolução de com : onde a convolução é definida por - Por que isso é útil aqui: a nossa função pode ser vista como
com e . Então a inversa será a convolução das inversas individuais de cada fator.
Passo 3
Achar as transformadas inversas dos fatores simples (peça fundamental antes de convoluir).
- Sabemos a transformada direta básica: para
constante, onde é a função degrau unitário (Heaviside) que garante causalidade. - Aplicando isso aos nossos fatores:
- Para simplificar a notação a partir daqui, e porque é padrão em problemas de Laplace, vamos trabalhar assumindo
(ou seja, multiplicando por implicitamente).
Passo 4
Escrever a convolução que precisamos calcular.
- Pela regra da convolução:
com - A convolução é
Passo 5
Calcular explicitamente a integral de convolução, passo a passo (sem pular etapas).
- Primeira simplificação dentro da integral:
- Assim a integral fica
- Como
é constante em relação à variável de integração , podemos tirá-la fora da integral: - Agora integramos
de a : - Substituindo de volta:
Passo 6
Simplificar o resultado e interpretar.
- Multiplicando os expoentes:
- Portanto a transformada inversa (para
) é ou, incluindo explicitamente a causalidade,
Passo 7
Verificação rápida (checagem com método alternativo — frações parciais).
- Como verificação, pode-se decompor em frações parciais:
- Invertendo termo a termo dá
que coincide com o resultado obtido por convolução. Boa confirmação!