Usando convolução calcule a transformada inversa das seguintes funções:
(a) \frac{1}{(s-4)(s-3)}

Passo 1

O que o problema pede e o que nos é dado.
  • Pede: calcular a transformada inversa (inversa da transformada de Laplace) de \frac{1}{(s-4)(s-3)}.
  • Informação disponível: a função no domínio de s está escrita como produto de dois fatores simples \dfrac{1}{s-4} e \dfrac{1}{s-3}.
  • Observação importante: vamos usar explicitamente o método pedido — convolução — para obter a função no domínio do tempo.

Passo 2

Lembrete / revisão sobre transformada de Laplace e o teorema da convolução (explicação didática).
  • Definição da transformada de Laplace: para uma função causal f(t) (isto é, f(t)=0 para t<0), \mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t)\,dt.Aqui s é a variável complexa do domínio de Laplace e t é a variável do tempo.
  • Teorema da convolução (forma prática): se F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\} e G(s)=\mathcal{L}\{g(t)\}, então o produto F(s)G(s) tem como transformada inversa a convolução de f com g: \mathcal{L}^{-1}\{F(s)G(s)\}(t)=(f*g)(t),onde a convolução é definida por (f*g)(t)=\int_{0}^{t} f(\tau)\,g(t-\tau)\,d\tau.
  • Por que isso é útil aqui: a nossa função pode ser vista como F(s)G(s) com F(s)=\dfrac{1}{s-4} e G(s)=\dfrac{1}{s-3}. Então a inversa será a convolução das inversas individuais de cada fator.

Passo 3

Achar as transformadas inversas dos fatores simples (peça fundamental antes de convoluir).
  • Sabemos a transformada direta básica: para \alpha constante, \mathcal{L}\{e^{\alpha t}u(t)\}(s)=\frac{1}{s-\alpha}\quad(\text{para } \Re(s)>\Re(\alpha)),onde u(t) é a função degrau unitário (Heaviside) que garante causalidade.
  • Aplicando isso aos nossos fatores: \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s-4}\right\}(t)=e^{4t}u(t), \qquad \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s-3}\right\}(t)=e^{3t}u(t).
  • Para simplificar a notação a partir daqui, e porque é padrão em problemas de Laplace, vamos trabalhar assumindo t\ge 0 (ou seja, multiplicando por u(t) implicitamente).

Passo 4

Escrever a convolução que precisamos calcular.
  • Pela regra da convolução: \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{(s-4)(s-3)}\right\}(t)=(f*g)(t),com f(t)=e^{4t}u(t),\qquad g(t)=e^{3t}u(t).
  • A convolução é (f*g)(t)=\int_{0}^{t} f(\tau)\,g(t-\tau)\,d\tau =\int_{0}^{t} e^{4\tau}\,e^{3(t-\tau)}\,d\tau.

Passo 5

Calcular explicitamente a integral de convolução, passo a passo (sem pular etapas).
  • Primeira simplificação dentro da integral: e^{4\tau}\,e^{3(t-\tau)} = e^{4\tau}\,e^{3t-3\tau} = e^{3t}\,e^{(4\tau-3\tau)} = e^{3t}\,e^{\tau}.
  • Assim a integral fica (f*g)(t)=\int_{0}^{t} e^{3t}\,e^{\tau}\,d\tau.
  • Como e^{3t} é constante em relação à variável de integração \tau, podemos tirá-la fora da integral: (f*g)(t)=e^{3t}\int_{0}^{t} e^{\tau}\,d\tau.
  • Agora integramos e^{\tau} de 0 a t: \int_{0}^{t} e^{\tau}\,d\tau = \bigl[e^{\tau}\bigr]_{0}^{t}=e^{t}-e^{0}=e^{t}-1.
  • Substituindo de volta: (f*g)(t)=e^{3t}\,(e^{t}-1).

Passo 6

Simplificar o resultado e interpretar.
  • Multiplicando os expoentes: e^{3t}\,(e^{t}-1)=e^{3t}e^{t}-e^{3t}=e^{4t}-e^{3t}.
  • Portanto a transformada inversa (para t\ge 0) é e^{4t}-e^{3t},ou, incluindo explicitamente a causalidade, \bigl(e^{4t}-e^{3t}\bigr)u(t).

Passo 7

Verificação rápida (checagem com método alternativo — frações parciais).
  • Como verificação, pode-se decompor em frações parciais: \frac{1}{(s-4)(s-3)}=\frac{1}{s-4}-\frac{1}{s-3}.
  • Invertendo termo a termo dá e^{4t}-e^{3t},que coincide com o resultado obtido por convolução. Boa confirmação!

Resposta

\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{1}{(s-4)(s-3)}\right\}(t)=\bigl(e^{4t}-e^{3t}\bigr)u(t)

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