Fatore os polinômios abaixo em termos das suas raízes (reais ou complexas):

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente fatorar o polinômio p(x)=x^4+1 em fatores lineares, usando tanto raízes reais quanto complexas. O conteúdo envolvido é encontrar as raízes complexas de um polinômio pela representação polar e depois escrever o produto de fatores x - raiz.

Passo 2

Pra achar as raízes, a gente faz p(x)=0, ou seja
x^4+1=0
Logo
x^4=-1

Passo 3

Agora, em números complexos lembra que -1=e^ipi+2pi i k e pela fórmula de De Moivre a solução de x^4=e^i(pi+2pi k) é
x=e^ipi+2pi k4=e^il(pi4+kpi2r), k=0,1,2,3

Passo 4

Isso gera as quatro raízes
x0=e^ipi/4, x1=e^i3pi/4, x2=e^i5pi/4, x3=e^i7pi/4

Passo 5

Pra fechar, basta montar o produto dos fatores lineares a partir dessas raízes.

Resposta

p(x)=(x-e^ipi/4)(x-e^i3pi/4)(x-e^i5pi/4)(x-e^i7pi/4)

Exercícios relacionados