Q 152 Identificando a indeterminação, calcule cada limite abaixo usando a regra de L’Hôspital.
§ lim x 0^+ x ln (x)

Passo 1

O enunciado pede
limxto0^+xln(x)
Como xto0^+ faz xto0 e ln(x)to-infty, temos indeterminação do tipo
0cdot(-infty)
Para usar a regra de L’Hôpital, convertemos esse produto numa forma de quociente.

Passo 2

Reescrevemos
xln(x) = ln(x)1/x
Quando xto0^+, ln(x)to-infty e 1/xto+infty, gerando a forma indeterminada
-infty+infty,
que permite aplicar a regra de L’Hôpital (válida para +infty/+infty ou 0/0).

Passo 3

Aplicando L’Hôpital, derivamos numerador e denominador:
ddx[ln(x)] = 1x, ddxl[tfrac1xr] = -1x^2
Assim o limite vira
limxto0^+ tfrac1x-tfrac1x^2 = limxto0^+l(-xr) = 0

Resposta

O valor do limite é 0.

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