Resolva as seguinte equações diferenciais:
Considere as condições iniciais:
Passo 1
O enunciado pede resolver a equação diferencial com condições iniciais. Informações dadas:
- Equação diferencial:
. - Condições iniciais:
e .
O que precisamos obter: a solução
que satisfaz a equação para
no domínio onde a equação faz sentido (note que há singularidade em
, então trabalharemos em
ou
), e que verifica as duas condições iniciais em
.
Passo 2
Identificar o tipo de equação e escolher um método adequado (explicação didática).
A equação tem a forma
A equação tem a forma
que é uma equação de Euler–Cauchy (também chamada equação equidimensional). Característica dessa equação: cada termo tem um fator de potência de
que combina com a ordem da derivada (por exemplo,
,
,
). Para esse tipo de equação, uma maneira padrão e muito eficiente de resolver é tentar uma solução-piloto do tipo
onde
é um número (possivelmente complexo) a determinar. Vou explicar por que essa escolha funciona: quando
, calcular derivadas gera potências de
compatíveis:
Substituindo esses na equação faz todos os termos ficarem proporcionais a
, resultando numa equação algébrica em
chamada equação característica.
Passo 3
Substituir
e obter a equação característica (aula passo a passo).
Calcule as derivadas e substitua na equação:
Calcule as derivadas e substitua na equação:
Substituindo em
obtemos
Agora simplificar fatorando
(todas as potências de
coincidem):
Como
não é identicamente zero para
, a parte entre colchetes deve ser zero. Essa é a equação característica:
Passo 4
Resolver a equação característica (explicando cada passo).
A equação característica é
A equação característica é
Expanda e junte termos semelhantes:
Isso é uma quadrática. Resolver usando fatoração ou fórmula de Bhaskara. Vamos fatorar: procuramos dois números cujo produto é
e soma é
; esses números são
e
. Assim
Portanto as raízes são
Passo 5
Construir a solução geral da equação diferencial (explicação do porquê da forma).
Para uma equação de Euler–Cauchy com duas raízes reais distintas e
, a solução geral é a combinação linear das potências correspondentes:
Para uma equação de Euler–Cauchy com duas raízes reais distintas
onde
e
são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais. Substituindo as raízes encontradas:
Passo 6
Calcular a derivada
e escrever as condições iniciais em termos de
e
.
Derivando a solução:
Derivando a solução:
Agora imponha as condições iniciais em
:
Passo 7
Resolver o sistema linear para encontrar
Subtrair a primeira equação da segunda (ou resolver por substituição). Vou subtrair a primeira da segunda:
No lado esquerdo
. Logo
Agora use
para achar
:
Passo 8
Escrever a solução final e verificar (breve verificação).
Com e
obtemos
Com
Verificação rápida das condições iniciais:
Também é possível substituir
,
,
na equação original para confirmar que ela é satisfeita (essa verificação é direta e compatível com o método usado).