Resolva as seguinte equações diferenciais:
x^{2} y^{\prime \prime}+3 x y^{\prime}-3 y=0 Considere as condições iniciais: y(1)=3 \quad y^{\prime}(1)=-5

Passo 1

O enunciado pede resolver a equação diferencial com condições iniciais. Informações dadas:
  • Equação diferencial: x^{2}y^{\prime\prime}+3x y^{\prime}-3y=0.
  • Condições iniciais: y(1)=3 e y^{\prime}(1)=-5.
O que precisamos obter: a solução y(x) que satisfaz a equação para x no domínio onde a equação faz sentido (note que há singularidade em x=0, então trabalharemos em x>0 ou x<0), e que verifica as duas condições iniciais em x=1.

Passo 2

Identificar o tipo de equação e escolher um método adequado (explicação didática).
A equação tem a forma
x^{2}y^{\prime\prime}+3x y^{\prime}-3y=0,
que é uma equação de Euler–Cauchy (também chamada equação equidimensional). Característica dessa equação: cada termo tem um fator de potência de x que combina com a ordem da derivada (por exemplo, x^{2}y^{\prime\prime}, x y^{\prime}, y). Para esse tipo de equação, uma maneira padrão e muito eficiente de resolver é tentar uma solução-piloto do tipo
y=x^{m},
onde m é um número (possivelmente complexo) a determinar. Vou explicar por que essa escolha funciona: quando y=x^{m}, calcular derivadas gera potências de x compatíveis:
y^{\prime}=m x^{m-1},\qquad y^{\prime\prime}=m(m-1)x^{m-2}.
Substituindo esses na equação faz todos os termos ficarem proporcionais a x^{m}, resultando numa equação algébrica em m chamada equação característica.

Passo 3

Substituir y=x^{m} e obter a equação característica (aula passo a passo).
Calcule as derivadas e substitua na equação:
y=x^{m},\qquad y^{\prime}=m x^{m-1},\qquad y^{\prime\prime}=m(m-1)x^{m-2}.
Substituindo em x^{2}y^{\prime\prime}+3x y^{\prime}-3y=0 obtemos
x^{2}\bigl(m(m-1)x^{m-2}\bigr)+3x\bigl(m x^{m-1}\bigr)-3\bigl(x^{m}\bigr)=0.
Agora simplificar fatorando x^{m} (todas as potências de x coincidem):
x^{m}\bigl[m(m-1)+3m-3\bigr]=0.
Como x^{m} não é identicamente zero para x\neq 0, a parte entre colchetes deve ser zero. Essa é a equação característica:
m(m-1)+3m-3=0.

Passo 4

Resolver a equação característica (explicando cada passo).
A equação característica é
m(m-1)+3m-3=0.
Expanda e junte termos semelhantes:
m^{2}-m+3m-3=0\quad\Rightarrow\quad m^{2}+2m-3=0.
Isso é uma quadrática. Resolver usando fatoração ou fórmula de Bhaskara. Vamos fatorar: procuramos dois números cujo produto é -3 e soma é 2; esses números são 3 e -1. Assim
m^{2}+2m-3=(m+3)(m-1)=0.
Portanto as raízes são
m_{1}=1,\qquad m_{2}=-3.

Passo 5

Construir a solução geral da equação diferencial (explicação do porquê da forma).
Para uma equação de Euler–Cauchy com duas raízes reais distintas m_{1} e m_{2}, a solução geral é a combinação linear das potências correspondentes:
y(x)=C_{1}x^{m_{1}}+C_{2}x^{m_{2}},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais. Substituindo as raízes encontradas:
y(x)=C_{1}x^{1}+C_{2}x^{-3}=C_{1}x+C_{2}x^{-3}.

Passo 6

Calcular a derivada y^{\prime}(x) e escrever as condições iniciais em termos de C_{1} e C_{2}.
Derivando a solução:
y^{\prime}(x)=\frac{d}{dx}\bigl(C_{1}x+C_{2}x^{-3}\bigr)=C_{1}-3C_{2}x^{-4}.
Agora imponha as condições iniciais em x=1:
y(1)=C_{1}\cdot 1 + C_{2}\cdot 1^{-3}=C_{1}+C_{2}=3,
y^{\prime}(1)=C_{1}-3C_{2}\cdot 1^{-4}=C_{1}-3C_{2}=-5.

Passo 7

Resolver o sistema linear para encontrar C_{1}\) e \(C_{2}\) (passo a passo). Temos o sistema \[\begin{cases} C_{1}+C_{2}=3,\\[4pt] C_{1}-3C_{2}=-5. \end{cases}
Subtrair a primeira equação da segunda (ou resolver por substituição). Vou subtrair a primeira da segunda:
(C_{1}-3C_{2})-(C_{1}+C_{2})=-5-3.
No lado esquerdo C_{1}-3C_{2}-C_{1}-C_{2}=-4C_{2}\]. No direito \(-8. Logo
-4C_{2}=-8\quad\Rightarrow\quad C_{2}=2.
Agora use C_{1}+C_{2}=3 para achar C_{1}:
C_{1}+2=3\quad\Rightarrow\quad C_{1}=1.]

Passo 8

Escrever a solução final e verificar (breve verificação).
Com C_{1}=1 e C_{2}=2 obtemos
y(x)=1\cdot x + 2\cdot x^{-3}=x+2x^{-3}.
Verificação rápida das condições iniciais:
y(1)=1+2=3\quad\text{(ok)},
y^{\prime}(x)=1-6x^{-4}\Rightarrow y^{\prime}(1)=1-6=-5\quad\text{(ok)}.
Também é possível substituir y, y^{\prime}, y^{\prime\prime} na equação original para confirmar que ela é satisfeita (essa verificação é direta e compatível com o método usado).

Resposta

y(x)=x+2x^{-3}

Exercícios relacionados