- (Valor:2,5 pontos) Metade de um anel isolante de raio
é carregado com carga
, enquanto a outra metade Inferior) possui carga
. Em ambas as partes, a carga está uniformemente distribuida. \
a) Calcule a densidade linear de carga da metade positiva no anel. \
b) Calcule o potencial elétrico no ponto
, localizado no centro do anel. \
c) Calcle o vetor campo elétrico noponto
, localizado no centro do
anel. anel. \
a) Calcule a densidade linear de carga da metade positiva no anel. \
b) Calcule o potencial elétrico no ponto
c) Calcle o vetor campo elétrico noponto
anel. anel. \
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
-
Dados fornecidos:
- Um anel de raio
. - A metade superior do anel tem carga total
, uniformemente distribuída ao longo dessa metade. - A metade inferior do anel tem carga total
, uniformemente distribuída ao longo dessa metade. - O ponto
é o centro do anel (distância do centro a qualquer ponto do anel é ).
- Um anel de raio
-
Perguntas:
a) Calcular a densidade linear de carga da metade positiva do anel.
b) Calcular o potencial elétrico no ponto(centro do anel).
c) Calcular o vetor campo elétrico no ponto(centro do anel).
Passo 2
(a) Densidade linear de carga — conceito e cálculo passo a passo.
-
Definição: a densidade linear de carga
(unidade ) é a carga por unidade de comprimento, ou seja Aqui a metade positiva tem carga totale o comprimento dessa metade (semicírculo) é . -
Aplicando a definição:Observação: como a metade é positiva,
é positivo. (Se pedissem a densidade da metade negativa, seria .)
Passo 3
(b) Potencial elétrico no ponto
— conceito e cálculo.
-
Conceito importante: o potencial elétrico é uma grandeza escalar. O potencial devido a um pequeno elemento de carga
a uma distância do ponto de interesse é Para somar contribuições de uma distribuição linear, integra-seao longo da distribuição. Por ser escalar, sinais das cargas entram diretamente (cargas negativas dão potencial negativo). -
No nosso caso todos os elementos do anel estão à mesma distância
do centro . Então o potencial total é simplesmente A integral desobre todo o anel (metade positiva mais metade negativa) é . Portanto -
Interpretação didática: mesmo que haja cargas separadas, o potencial no centro é a soma algébrica das contribuições; como as cargas totalizam zero, o potencial no centro é zero.
Passo 4
(c) Campo elétrico no ponto
— técnica vetorial e integração.
-
Conceitos úteis:
- O campo devido a um elemento
situado a uma distância do ponto é um vetor de módulo com direção radial (de/para o elemento, dependendo do sinal de ). Para carga positiva o campo no centro aponta na direção oposta ao vetor posição do elemento (isto é, aponta para dentro, em direção ao centro), para carga negativa aponta na direção do vetor posição (aponta para o elemento). - Para somar vetorialmente, convém parametrizar o anel por um ângulo
. Tomemos medido a partir do eixo positivo, no sentido anti-horário. - Um elemento de comprimento é
. Assim .
- O campo devido a um elemento
-
Parametrização e expressões:
- Coordenadas do elemento:
. - Campo no centro devido a
: onde o vetor unitário aponta de para o ponto (no caso, do elemento para o centro), que é para carga positiva. Em forma vetorial conveniente (incluindo sinal do ) podemos escrever diretamente (Essa expressão vale para com sinal algebraico: se for negativo, o produto dá a direção correta.)
- Coordenadas do elemento:
-
Montando a integral sobre o anel inteiro (0 a
), lembrando que é para (metade superior) e para (metade inferior): Simplificando fatores: -
Calculando componentes:
- Componente
: Como é função ímpar em torno de e as densidades nas meias-voltas têm mesmo módulo simétrico, as integrais nas duas metades cancelam; explicitamente e . Logo - Componente
: Calcule as integrais trigonométricas: Substituindo e : Agora . Assim Simplificando e juntando fatores, onde . Uma forma compacta é Substituindo dá também
- Componente
-
Interpretação física: o campo aponta no sentido negativo do eixo
(para baixo). Isso faz sentido porque a metade superior com carga positiva puxa (no sentido de produzir campo apontando para o centro, que tem componente para baixo) e a metade inferior com carga negativa também produz campo apontando para baixo no centro — as contribuições somam (não se anulam), enquanto as componentes horizontais se cancelam por simetria.
Passo 5
Resumo das expressões finais (formas equivalentes) e incentivo: as contas mostram que o potencial no centro zera porque as cargas totais se cancelam, mas o campo não zera — isso é um bom exemplo de diferença entre grandezas escalares e vetoriais. Você está indo bem — prática desses passos te deixa rápido para a prova!
Resposta
(a)
(b)
(c)