1. (Valor:2,5 pontos) Metade de um anel isolante de raio R é carregado com carga +Q, enquanto a outra metade Inferior) possui carga -Q. Em ambas as partes, a carga está uniformemente distribuida. \
    a) Calcule a densidade linear de carga da metade positiva no anel. \
    b) Calcule o potencial elétrico no ponto P, localizado no centro do anel. \
    c) Calcle o vetor campo elétrico noponto P, localizado no centro do
    anel. anel. \

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • Um anel de raio R.
    • A metade superior do anel tem carga total +Q, uniformemente distribuída ao longo dessa metade.
    • A metade inferior do anel tem carga total -Q, uniformemente distribuída ao longo dessa metade.
    • O ponto P é o centro do anel (distância do centro a qualquer ponto do anel é R).
  • Perguntas:
    a) Calcular a densidade linear de carga da metade positiva do anel.
    b) Calcular o potencial elétrico no ponto P (centro do anel).
    c) Calcular o vetor campo elétrico no ponto P (centro do anel).

Passo 2

(a) Densidade linear de carga — conceito e cálculo passo a passo.
  • Definição: a densidade linear de carga \lambda (unidade \mathrm{C/m}) é a carga por unidade de comprimento, ou seja
    \lambda=\frac{\text{carga total}}{\text{comprimento total}}.
    Aqui a metade positiva tem carga total +Q e o comprimento dessa metade (semicírculo) é \pi R.
  • Aplicando a definição:
    \lambda_{+}=\frac{Q}{\pi R}.
    Observação: como a metade é positiva, \lambda_{+} é positivo. (Se pedissem a densidade da metade negativa, seria \lambda_{-}=-\dfrac{Q}{\pi R}.)

Passo 3

(b) Potencial elétrico no ponto P — conceito e cálculo.
  • Conceito importante: o potencial elétrico é uma grandeza escalar. O potencial devido a um pequeno elemento de carga dq a uma distância r do ponto de interesse é
    dV=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{dq}{r}.
    Para somar contribuições de uma distribuição linear, integra-se dV ao longo da distribuição. Por ser escalar, sinais das cargas entram diretamente (cargas negativas dão potencial negativo).
  • No nosso caso todos os elementos do anel estão à mesma distância R do centro P. Então o potencial total é simplesmente
    V(P)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{1}{R}\int dq.
    A integral de dq sobre todo o anel (metade positiva mais metade negativa) é +Q + (-Q)=0. Portanto
    V(P)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{1}{R}\,(Q - Q)=0.
  • Interpretação didática: mesmo que haja cargas separadas, o potencial no centro é a soma algébrica das contribuições; como as cargas totalizam zero, o potencial no centro é zero.

Passo 4

(c) Campo elétrico no ponto P — técnica vetorial e integração.
  • Conceitos úteis:
    • O campo devido a um elemento dq situado a uma distância R do ponto é um vetor de módulo dE=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{|dq|}{R^2},com direção radial (de/para o elemento, dependendo do sinal de dq). Para carga positiva o campo no centro aponta na direção oposta ao vetor posição do elemento (isto é, aponta para dentro, em direção ao centro), para carga negativa aponta na direção do vetor posição (aponta para o elemento).
    • Para somar vetorialmente, convém parametrizar o anel por um ângulo \theta. Tomemos \theta medido a partir do eixo x positivo, no sentido anti-horário.
    • Um elemento de comprimento é d\ell=R\,d\theta. Assim dq=\lambda(\theta)\,R\,d\theta.
  • Parametrização e expressões:
    • Coordenadas do elemento: \mathbf{r}'=R(\cos\theta\,\hat{\mathbf{i}}+\sin\theta\,\hat{\mathbf{j}}).
    • Campo no centro devido a dq: d\mathbf{E}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{dq}{R^2}\,\hat{\mathbf{u}},onde o vetor unitário \hat{\mathbf{u}} aponta de dq para o ponto (no caso, do elemento para o centro), que é -\hat{\mathbf{r}}'=( -\cos\theta\,\hat{\mathbf{i}} -\sin\theta\,\hat{\mathbf{j}}) para carga positiva. Em forma vetorial conveniente (incluindo sinal do dq) podemos escrever diretamente d\mathbf{E}=-\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{\mathbf{r}'}{R^3}\,dq.(Essa expressão vale para dq com sinal algebraico: se dq for negativo, o produto dá a direção correta.)
  • Montando a integral sobre o anel inteiro (0 a 2\pi), lembrando que \lambda(\theta) é \lambda_{+}=Q/(\pi R) para \theta\in[0,\pi] (metade superior) e \lambda_{-}=-Q/(\pi R) para \theta\in[\pi,2\pi] (metade inferior):
    \mathbf{E}(P)=-\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{1}{R^3}\int_{0}^{2\pi}\mathbf{r}'\,dq =-\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{1}{R^3}\int_{0}^{2\pi}R(\cos\theta,\sin\theta)\,\bigl(\lambda(\theta)R\,d\theta\bigr).
    Simplificando fatores R:
    \mathbf{E}(P)=-\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{1}{R}\int_{0}^{2\pi}\lambda(\theta)\bigl(\cos\theta\,\hat{\mathbf{i}}+\sin\theta\,\hat{\mathbf{j}}\bigr)\,d\theta.
  • Calculando componentes:
    • Componente x: E_x=-\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{1}{R}\int_{0}^{2\pi}\lambda(\theta)\cos\theta\,d\theta.Como \cos\theta é função ímpar em torno de \pi e as densidades nas meias-voltas têm mesmo módulo simétrico, as integrais nas duas metades cancelam; explicitamente \int_{0}^{\pi}\cos\theta\,d\theta=0 e \int_{\pi}^{2\pi}\cos\theta\,d\theta=0. Logo E_x=0.
    • Componente y: E_y=-\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{1}{R}\Biggl(\int_{0}^{\pi}\lambda_{+}\sin\theta\,d\theta+\int_{\pi}^{2\pi}\lambda_{-}\sin\theta\,d\theta\Biggr).Calcule as integrais trigonométricas: \int_{0}^{\pi}\sin\theta\,d\theta=2,\qquad \int_{\pi}^{2\pi}\sin\theta\,d\theta=-2.Substituindo \lambda_{+}=\dfrac{Q}{\pi R} e \lambda_{-}=-\dfrac{Q}{\pi R}: E_y=-\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{1}{R}\Biggl(\lambda_{+}\cdot 2 + \lambda_{-}\cdot(-2)\Biggr) =-\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{1}{R}\bigl(2\lambda_{+}-2\lambda_{-}\bigr).Agora \lambda_{+}-\lambda_{-}=\dfrac{Q}{\pi R}-\bigl(-\dfrac{Q}{\pi R}\bigr)=\dfrac{2Q}{\pi R}. Assim E_y=-\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{1}{R}\cdot 2\cdot\frac{2Q}{\pi R} =-\frac{4}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{Q}{\pi R^2}.Simplificando \dfrac{4}{4\pi\varepsilon_0}=\dfrac{1}{\pi\varepsilon_0} e juntando fatores, E_y=-\frac{4}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{Q}{\pi R^2} =-\frac{4}{\pi}\,\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{Q}{R^2} =-\frac{4}{\pi}\,k\,\frac{Q}{R^2},onde k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}. Uma forma compacta é \mathbf{E}(P)=-\frac{4kQ}{\pi R^2}\,\hat{\mathbf{j}}.Substituindo k=1/(4\pi\varepsilon_0) dá também \mathbf{E}(P)=-\frac{Q}{\pi^{2}\varepsilon_0 R^{2}}\,\hat{\mathbf{j}}.
  • Interpretação física: o campo aponta no sentido negativo do eixo y (para baixo). Isso faz sentido porque a metade superior com carga positiva puxa (no sentido de produzir campo apontando para o centro, que tem componente para baixo) e a metade inferior com carga negativa também produz campo apontando para baixo no centro — as contribuições somam (não se anulam), enquanto as componentes horizontais se cancelam por simetria.

Passo 5

Resumo das expressões finais (formas equivalentes) e incentivo: as contas mostram que o potencial no centro zera porque as cargas totais se cancelam, mas o campo não zera — isso é um bom exemplo de diferença entre grandezas escalares e vetoriais. Você está indo bem — prática desses passos te deixa rápido para a prova!

Resposta

(a) \displaystyle \lambda_{+}=\frac{Q}{\pi R}
(b) \displaystyle V(P)=0
(c) \displaystyle \mathbf{E}(P)=-\frac{4}{\pi}\,\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{Q}{R^{2}}\,\hat{\mathbf{j}} \;=\; -\frac{Q}{\pi^{2}\varepsilon_0 R^{2}}\,\hat{\mathbf{j}}

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