Suponha que f é uma função real de uma variável real que possui cinco raízes, sendo três positivas e duas negativas, e que possui uma singularidade em x=0. Além disso, suponha que “após” a maior das raízes a função seja uma reta crescente e que “antes” da menor das raízes a função seja uma parábola decrescente. Esboce um rascunho de um possível gráfico para essa função.

Passo 1

O enunciado pede um esboço de uma função f\colon\mathbb{R}\setminus\{0\}\to\mathbb{R} que tem cinco raízes, duas à esquerda de 0 e três à direita de 0, além de uma singularidade (assíntota vertical) em x=0. Sabe-se também que, para x menor que a menor raiz, f se comporta como uma parábola decrescente (concavidade para baixo) e que, para x maior que a maior raiz, f se comporta como uma reta crescente.

Passo 2

Marque a singularidade vertical em x=0. Isto significa que o gráfico de f terá uma assíntota vertical nessa reta, com f(x)\to\pm\infty à medida que x\to0^- ou x\to0^+.

Passo 3

Escolha cinco valores de raízes e ordene-os assim:
\alpha_1<\alpha_2<0<\beta_1<\beta_2<\beta_3.
Os pontos (\alpha_1,0), (\alpha_2,0), (\beta_1,0), (\beta_2,0) e (\beta_3,0) são os interceptos de f com o eixo x.

Passo 4

Para x<\alpha_1, faça o gráfico com forma de parábola voltada para baixo: conforme x\to-\infty, leve f(x)\to-\infty; depois a curva sobe até cruzar o eixo em \alpha_1.

Passo 5

Entre \alpha_1 e \alpha_2 desenhe um ramo que sai de (\alpha_1,0), vai abaixo do eixo e volta a cruzá-lo em (\alpha_2,0). Logo depois, para x\to0^-, leve o ramo a divergir a +\infty (ou a -\infty), simulando a assíntota vertical.

Passo 6

Para x\to0^+ inicie um ramo que parte de +\infty (ou -\infty, conforme escolha) e desça cruzando o eixo em \beta_1, depois em \beta_2 e depois em \beta_3.

Passo 7

Para x>\beta_3, transforme o gráfico num segmento de reta com inclinação positiva (reta crescente), de modo que à medida que x\to+\infty, f(x)\to+\infty.

Resposta

Um possível esboço em coordenadas cartesianas (eixo x horizontal, eixo y vertical) é:
y

+\infty │ . /
│ . \ /
│ . \ /
│ . \ /
\alpha_{2}\bullet_ \beta_{1}\bullet \bullet\beta_{2}\bullet_ \beta_{3}\bullet________→ x
│ / \ /
│ / \ /
│ / X ⟵ assíntota em x =0
│ / |
–∞ │ / |
│/ |
\bullet\alpha_{1} |
/\ |
/ \ |
/ \ |
–∞ \ |
\ |
\ parab. |
decresc.|
Onde:
• “•” marca cada raiz \alpha_1,\alpha_2 e \beta_1,\beta_2,\beta_3.
• “◎” em x=0 é a assíntota vertical.
• À esquerda de \alpha_1 o ramo faz a forma de parábola decrescente (concavidade voltada para baixo) e, à direita de \beta_3, o gráfico segue como uma reta de inclinação positiva.

Exercícios relacionados