Suponha que
é uma função real de uma variável real que possui cinco raízes, sendo três positivas e duas negativas, e que possui uma singularidade em
. Além disso, suponha que “após” a maior das raízes a função seja uma reta crescente e que “antes” da menor das raízes a função seja uma parábola decrescente. Esboce um rascunho de um possível gráfico para essa função.
Passo 1
O enunciado pede um esboço de uma função
que tem cinco raízes, duas à esquerda de
e três à direita de
, além de uma singularidade (assíntota vertical) em
. Sabe-se também que, para
menor que a menor raiz,
se comporta como uma parábola decrescente (concavidade para baixo) e que, para
maior que a maior raiz,
se comporta como uma reta crescente.
Passo 2
Marque a singularidade vertical em
. Isto significa que o gráfico de
terá uma assíntota vertical nessa reta, com
à medida que
ou
.
Passo 3
Escolha cinco valores de raízes e ordene-os assim:
Os pontos
,
,
,
e
são os interceptos de
com o eixo
.
Passo 4
Para
, faça o gráfico com forma de parábola voltada para baixo: conforme
, leve
; depois a curva sobe até cruzar o eixo em
.
Passo 5
Entre
e
desenhe um ramo que sai de
, vai abaixo do eixo e volta a cruzá-lo em
. Logo depois, para
, leve o ramo a divergir a
(ou a
), simulando a assíntota vertical.
Passo 6
Para
inicie um ramo que parte de
(ou
, conforme escolha) e desça cruzando o eixo em
, depois em
e depois em
.
Passo 7
Para
, transforme o gráfico num segmento de reta com inclinação positiva (reta crescente), de modo que à medida que
,
.
Resposta
Um possível esboço em coordenadas cartesianas (eixo
horizontal, eixo
vertical) é:
y
↑
│ . /
│ . \ /
│ . \ /
│ . \ /
│ _◎
_
________→ x
│ / \ /
│ / \ /
│ / X ⟵ assíntota em x
│ / |
–∞ │ / |
│/ |
|
/\ |
/ \ |
/ \ |
–∞ \ |
\ |
\ parab. |
decresc.|
↑
│ . \ /
│ . \ /
│ . \ /
│
│ / \ /
│ / \ /
│ / X ⟵ assíntota em x
│ / |
–∞ │ / |
│/ |
/\ |
/ \ |
/ \ |
–∞ \ |
\ |
\ parab. |
decresc.|
Onde:
• “•” marca cada raiz e
.
• “◎” em é a assíntota vertical.
• À esquerda de o ramo faz a forma de parábola decrescente (concavidade voltada para baixo) e, à direita de
, o gráfico segue como uma reta de inclinação positiva.
• “•” marca cada raiz
• “◎” em
• À esquerda de