Resolva a seguinte inequação:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa inequação juntos! O enunciado é:
Aqui, estamos lidando com inequações racionais, que envolvem frações onde tanto o numerador quanto o denominador são polinômios. Para resolver isso, vamos precisar simplificar a expressão, encontrar os pontos onde a fração muda de sinal (ou seja, onde o numerador ou denominador são zero) e analisar os intervalos resultantes para ver onde a inequação é verdadeira.
Passo 2
Primeiro, vamos trazer tudo para um lado da inequação para termos zero do outro lado. Assim, subtraímos
de ambos os lados:
Passo 3
Agora, precisamos somar as duas frações. Para isso, vamos encontrar um denominador comum. O denominador comum aqui é
. Então, reescrevemos cada termo com esse denominador:
Simplificando o numerador:
Juntando os termos semelhantes:
Passo 4
Agora, vamos focar apenas no numerador e no denominador para encontrar os valores de
que fazem a fração igual a zero ou indefinida.
Numerador: $ x^{3} + 5x^{2} + 7x + 3 = 0 $
Denominador: $ x^{3} + x^{2} - x - 1 = 0 $
Vamos encontrar as raízes dessas equações para identificar os pontos críticos.
Passo 5
Vamos resolver primeiro o denominador:
Tentando valores inteiros, vemos que x = 1 satisfaz a equação:
Então,
é um fator. Fazendo a divisão polinomial ou usando a fatoração, obtemos:
O termo quadrático pode ser fatorado:
Portanto, as raízes do denominador são x = 1 e x = -1 (com multiplicidade 2).
Agora, vamos resolver o numerador:
Tentando x = -1:
Então,
é um fator. Dividindo o polinômio, temos:
Fatorando o termo quadrático:
Portanto, as raízes do numerador são x = -1 (com multiplicidade 2) e x = -3.
Passo 6
Agora que temos todos os pontos críticos (x = -3, -1, 1), vamos dividir a linha numérica em intervalos e analisar o sinal da expressão em cada intervalo.
Os intervalos são:
- $ x < -3 $
- $ -3 < x < -1 $
- $ -1 < x < 1 $
- $ x > 1 $
Vamos escolher um valor de x em cada intervalo e verificar o sinal da fração.
Intervalo 1: $ x < -3 $
- Escolha x = -4:
- Numerador: $ (-4 +1)^2(-4 +3) = ( -3)^2(-1) = 9*(-1) = -9 $
- Denominador: $ (x -1)(x +1)^2 = (-5)(-3)^2 = -5*9 = -45 $
- Sinal: (-)/( - ) = +
Intervalo 2: $ -3 < x < -1 $
- Escolha x = -2:
- Numerador: $ (-2 +1)^2(-2 +3) = (-1)^2(1) = 1*1 = 1 $
- Denominador: $ (x -1)(x +1)^2 = (-3)(-1)^2 = -3*1 = -3 $
- Sinal: (+)/( - ) = -
Intervalo 3: $ -1 < x < 1 $
- Escolha x = 0:
- Numerador: $ (0 +1)^2(0 +3) = (1)^2(3) = 1*3 = 3 $
- Denominador: $ (0 -1)(0 +1)^2 = (-1)(1)^2 = -1*1 = -1 $
- Sinal: (+)/( - ) = -
Intervalo 4: $ x > 1 $
- Escolha x = 2:
- Numerador: $ (2 +1)^2(2 +3) = (3)^2(5) = 9*5 = 45 $
- Denominador: $ (2 -1)(2 +1)^2 = (1)(3)^2 = 1*9 = 9 $
- Sinal: (+)/( + ) = +
Resposta
A inequação é satisfeita nos intervalos onde a fração é menor ou igual a zero. Observando os sinais:
- Intervalo 2: $ -3 < x < -1 $
- Intervalo 3: $ -1 < x < 1 $
Considerando os pontos onde a fração é igual a zero, x = -3 e x = -1:
- Em x = -3, a fração é zero.
- Em x = -1, a fração também é zero, mas o denominador se anula (indefinido).
Portanto, a solução é: