Resolva a seguinte inequação:
2 x^2+4 x+2x^3+x^2-x-1 <=-12

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa inequação juntos! O enunciado é:
2x^2 + 4x + 2x^3 + x^2 - x - 1 <= -12
Aqui, estamos lidando com inequações racionais, que envolvem frações onde tanto o numerador quanto o denominador são polinômios. Para resolver isso, vamos precisar simplificar a expressão, encontrar os pontos onde a fração muda de sinal (ou seja, onde o numerador ou denominador são zero) e analisar os intervalos resultantes para ver onde a inequação é verdadeira.

Passo 2

Primeiro, vamos trazer tudo para um lado da inequação para termos zero do outro lado. Assim, subtraímos -12 de ambos os lados:
2x^2 + 4x + 2x^3 + x^2 - x - 1 + 12 <= 0

Passo 3

Agora, precisamos somar as duas frações. Para isso, vamos encontrar um denominador comum. O denominador comum aqui é 2(x^3 + x^2 - x - 1). Então, reescrevemos cada termo com esse denominador:
2(2x^2 + 4x + 2)2(x^3 + x^2 - x - 1) + (x^3 + x^2 - x - 1)2(x^3 + x^2 - x - 1) <= 0
Simplificando o numerador:
4x^2 + 8x + 4 + x^3 + x^2 - x - 12(x^3 + x^2 - x - 1) <= 0
Juntando os termos semelhantes:
x^3 + 5x^2 + 7x + 32(x^3 + x^2 - x - 1) <= 0

Passo 4

Agora, vamos focar apenas no numerador e no denominador para encontrar os valores de x que fazem a fração igual a zero ou indefinida.
Numerador: $ x^{3} + 5x^{2} + 7x + 3 = 0 $
Denominador: $ x^{3} + x^{2} - x - 1 = 0 $
Vamos encontrar as raízes dessas equações para identificar os pontos críticos.

Passo 5

Vamos resolver primeiro o denominador:
x^3 + x^2 - x - 1 = 0
Tentando valores inteiros, vemos que x = 1 satisfaz a equação:
1 + 1 - 1 - 1 = 0
Então, (x - 1) é um fator. Fazendo a divisão polinomial ou usando a fatoração, obtemos:
(x - 1)(x^2 + 2x + 1) = 0
O termo quadrático pode ser fatorado:
(x - 1)(x + 1)^2 = 0
Portanto, as raízes do denominador são x = 1 e x = -1 (com multiplicidade 2).
Agora, vamos resolver o numerador:
x^3 + 5x^2 + 7x + 3 = 0
Tentando x = -1:
-1 + 5 - 7 + 3 = 0
Então, (x + 1) é um fator. Dividindo o polinômio, temos:
(x + 1)(x^2 + 4x + 3) = 0
Fatorando o termo quadrático:
(x + 1)(x + 1)(x + 3) = 0
Portanto, as raízes do numerador são x = -1 (com multiplicidade 2) e x = -3.

Passo 6

Agora que temos todos os pontos críticos (x = -3, -1, 1), vamos dividir a linha numérica em intervalos e analisar o sinal da expressão em cada intervalo.
Os intervalos são:
  1. $ x < -3 $
  2. $ -3 < x < -1 $
  3. $ -1 < x < 1 $
  4. $ x > 1 $
Vamos escolher um valor de x em cada intervalo e verificar o sinal da fração.
Intervalo 1: $ x < -3 $
  • Escolha x = -4:
    • Numerador: $ (-4 +1)^2(-4 +3) = ( -3)^2(-1) = 9*(-1) = -9 $
    • Denominador: $ (x -1)(x +1)^2 = (-5)(-3)^2 = -5*9 = -45 $
    • Sinal: (-)/( - ) = +
Intervalo 2: $ -3 < x < -1 $
  • Escolha x = -2:
    • Numerador: $ (-2 +1)^2(-2 +3) = (-1)^2(1) = 1*1 = 1 $
    • Denominador: $ (x -1)(x +1)^2 = (-3)(-1)^2 = -3*1 = -3 $
    • Sinal: (+)/( - ) = -
Intervalo 3: $ -1 < x < 1 $
  • Escolha x = 0:
    • Numerador: $ (0 +1)^2(0 +3) = (1)^2(3) = 1*3 = 3 $
    • Denominador: $ (0 -1)(0 +1)^2 = (-1)(1)^2 = -1*1 = -1 $
    • Sinal: (+)/( - ) = -
Intervalo 4: $ x > 1 $
  • Escolha x = 2:
    • Numerador: $ (2 +1)^2(2 +3) = (3)^2(5) = 9*5 = 45 $
    • Denominador: $ (2 -1)(2 +1)^2 = (1)(3)^2 = 1*9 = 9 $
    • Sinal: (+)/( + ) = +

Resposta

A inequação é satisfeita nos intervalos onde a fração é menor ou igual a zero. Observando os sinais:
  • Intervalo 2: $ -3 < x < -1 $
  • Intervalo 3: $ -1 < x < 1 $
Considerando os pontos onde a fração é igual a zero, x = -3 e x = -1:
  • Em x = -3, a fração é zero.
  • Em x = -1, a fração também é zero, mas o denominador se anula (indefinido).
Portanto, a solução é:
-3 < x < -1

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