Resolva as seguinte integrais usando a técnica de integração por frações parciais:
a) integral x^2x^2-9 d x;

Passo 1

A questão pede para calcular integral x^2x^2-9,dx usando frações parciais. O conteúdo envolve decompor a função racional em parte polinomial e parte própria para depois separar em frações mais simples e integrar.

Passo 2

Primeiro, fazemos divisão de polinômios para reescrever o integrando como soma de um termo polinomial e uma fração própria. Observa que
x^2x^2-9 = x^2-9+9x^2-9 = 1 + 9x^2-9

Passo 3

Agora, decompomos 9x^2-9 em frações parciais. Como x^2-9=(x-3)(x+3), escrevemos
9(x-3)(x+3) = Ax-3 + Bx+3
Multiplicando em cruz:
9 = A(x+3) + B(x-3)
Para x=3: 9 = Acdot6 então A=tfrac32.
Para x=-3: 9 = Bcdot(-6) então B=-tfrac32.

Passo 4

Substituindo de volta, o integrando fica
1 + 9x^2-9 = 1 + 3/2x-3 - 3/2x+3
Agora integramos termo a termo:
integral 1,dx = x, integral 3/2x-3,dx = 32ln|x-3|, integral -3/2x+3,dx = -32ln|x+3|

Resposta

x + tfrac32ln|x-3| - tfrac32ln|x+3| + C

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