Resolva as seguinte integrais usando a técnica de integração por frações parciais:
d) integral d x2 x^2+8 x+20;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral dx2x^2 + 8x + 20 usando frações parciais (ou equivalentes). O conteúdo envolve integração de funções racionais e vamos precisar completar o quadrado no denominador para reduzir a um caso de arctan.

Passo 2

Primeiro, fatoramos o coeficiente principal do denominador e completamos o quadrado:
2x^2 + 8x + 20 = 2l(x^2 + 4x + 10r) = 2l((x+2)^2 + 6r)

Passo 3

Assim a integral fica
integral dx2l((x+2)^2 + 6r) = 12 integral dx(x+2)^2 + 6

Passo 4

Fazemos a mudança de variável u = x+2, então du = dx e obtemos
12 integral duu^2 + 6

Passo 5

Reconhecemos que 6 = (raiz6)^2 e usamos a fórmula
integral duu^2 + a^2 = 1aarctanl(uar) + C
Logo,
12 integral duu^2 + (raiz6)^2 = 12 cdot 1raiz6 arctanl(uraiz6r) + C

Passo 6

Voltando a u = x+2, concluímos que
integral dx2x^2 + 8x + 20 = 12raiz6 arctanl(x+2raiz6r) + C

Resposta

$ \displaystyle \frac{1}{2\sqrt6} \arctan\bigl(\frac{x+2}{\sqrt6}\bigr) + C $

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