(Dica: reescreva a integral fazendo a substituição , aplique a fórmula de integração por partes e, em seguida, aplique a substituição trigonométrica e utilize o fato de que .)
Passo 1
O enunciado pede pra calcular a integral . Para isso vamos usar as técnicas de substituição de variável, integração por partes e substituição trigonométrica conforme a dica.
Passo 2
Fazendo a troca de variável , temos . Assim a integral vira
Passo 3
Para resolver aplicamos integração por partes escolhendo e . Então
Logo
Passo 4
A integral é resolvida com a substituição trigonométrica . Como e , fica
Voltando a t, usamos sintheta=traiz1+t^2 e achamos
lnl|sinthetar| = ln|t| - tfrac12ln(1+t^2) + C1
Passo 5
Juntando tudo temos
integral arctan tt^2,dt = -arctan tt + ln|t| - tfrac12ln(1+t^2) + C
Voltando para x com t=e^x e lembrando que ln|e^x|=x, obtemos o resultado final.