Usando o fato de que integral arctan x d x=x arctan x-12 ln (x^2+1), verifique que
integral arctan (e^x)e^x d x=x-arctan (e^x)e^x-12 ln (e^2 x+1)+K
(Dica: reescreva a integral fazendo a substituição t=e^x, aplique a fórmula de integração por partes e, em seguida, aplique a substituição trigonométrica t=tan theta e utilize o fato de que integral cot theta d theta= ln |sen theta|.)

Passo 1

O enunciado pede pra calcular a integral integral arctan(e^x)e^x,dx. Para isso vamos usar as técnicas de substituição de variável, integração por partes e substituição trigonométrica conforme a dica.

Passo 2

Fazendo a troca de variável t=e^x, temos dx=dtt. Assim a integral vira
integral arctan(e^x)e^x,dx = integral arctan tt cdot dtt = integral arctan tt^2,dt

Passo 3

Para resolver integral arctan tt^2,dt aplicamos integração por partes escolhendo u=arctan t e dv=t^-2dt. Então
du=11+t^2,dt, v=integral t^-2dt = -1t
Logo
integral arctan tt^2,dt = u,v - integral v,du = -arctan tt + integral 1t(1+t^2),dt

Passo 4

A integral integral 1t(1+t^2),dt é resolvida com a substituição trigonométrica t=tantheta. Como dt=sec^2theta,dtheta e 1+t^2=sec^2theta, fica
integral dtt(1+t^2) = integral sec^2thetatantheta,sec^2theta,dtheta = integral cottheta,dtheta = lnl|sinthetar| + C1
Voltando a t, usamos sintheta=traiz1+t^2 e achamos
lnl|sinthetar| = ln|t| - tfrac12ln(1+t^2) + C1

Passo 5

Juntando tudo temos
integral arctan tt^2,dt = -arctan tt + ln|t| - tfrac12ln(1+t^2) + C
Voltando para x com t=e^x e lembrando que ln|e^x|=x, obtemos o resultado final.

Resposta

x - arctan(e^x)e^x - tfrac12ln(e^2x+1) + K

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