Resolva as seguinte integrais usando a técnica de integração por substituição trigonométrica:
c) integral d x(1-x^2)^32;

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral dx(1 - x^2)^3/2 usando substituição trigonométrica. Vamos usar o caso em que aparece 1 - x^2 e lembrar da identidade pitagórica.

Passo 2

Fazendo a substituição x = sintheta, então dx = costheta,dtheta e
(1 - x^2)^3/2 = (1 - sin^2theta)^3/2 = (cos^2theta)^3/2 = cos^3theta

Passo 3

Substituindo na integral, temos:
integral dx(1 - x^2)^3/2 = integral costheta,dthetacos^3theta = integral sec^2theta,dtheta

Passo 4

A integral de sec^2theta é tantheta + C. Agora voltamos à variável x. Como theta = arcsin(x), temos
tantheta = sinthetacostheta = xraiz1 - x^2.

Passo 5

Logo,
integral dx(1 - x^2)^3/2 = xraiz1 - x^2 + C

Resposta

xraiz1 - x^2 + C

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