Use o Teorema Fundamental do Cálculo para calcular a derivada das funções dadas a seguir:
(b) y=integralraizx^x^3 raizt sen t d t

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
y=integralraizx^x^3raizt,sent,dt
usando o Teorema Fundamental do Cálculo e a regra da cadeia. Vamos usar a ideia de que, quando tanto o limite inferior quanto o superior dependem de x, a derivada é dada por avaliar o integrando nos limites vezes as derivadas desses limites.

Passo 2

Quando temos
y=integralu(x)^v(x)f(t),dt,
é válido usar
y'=fl(v(x)r),v'(x)-fl(u(x)r),u'(x)
Isso vem do Teorema Fundamental do Cálculo aliado à regra da cadeia.

Passo 3

Aqui identificamos
f(t)=raizt,sent,
v(x)=x^3implies v'(x)=3x^2,
então
$$f\bigl(v(x)\bigr)=\sqrt{x3},\operatorname{sen}(x3)=x{3/2},\operatorname{sen}(x3).
fl(v(x)r)=raizx^3,sen(x^3)=x^3/2,sen(x^3) f\bigl(v(x)\bigr),v’(x)=3x^2\cdot x{3/2},\operatorname{sen}(x3)=3x{7/2},\operatorname{sen}(x3).
$$

Passo 4

O limite inferior é
u(x)=raizximplies u'(x)=12raizx=12x^1/2,
e
fl(u(x)r)=raizraizx,sen(raizx)=x^1/4,sen(raizx)
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fl(u(x)r),u'(x)=x^1/4,sen(raizx)cdot12x^1/2=12x^-1/4,sen(raizx)

Passo 5

Juntando as duas contribuições, obtemos
y'=3x^7/2,sen(x^3)-12x^-1/4,sen(raizx)

Resposta

y'=3x^7/2,sen(x^3)-tfrac12x^-1/4,sen(raizx)

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