Resolva as seguintes integrais usando a técnica de integração por partes:
d) integral0^pi2 x e^x cos x d x.

Passo 1

Essa questão pede para calcular a integral definida integral0^pi2 x e^x cos x ,dx usando integração por partes. O conteúdo é integração por partes e vamos precisar também da primitiva de e^xcos x.

Passo 2

Primeiro, encontramos a primitiva de e^xcos x. Fazendo integração por partes (tomando, por exemplo, u=e^x, dv=cos x,dx ou diretamente usando o método de equações, chega-se a):
integral e^x cos x,dx = e^x2l(sin x + cos xr) + C

Passo 3

Agora aplicamos integração por partes na integral original I=integral x e^x cos x,dx. Escolhemos:
I = xcdot v - integral v,du = xe^x2(sin x + cos x) - integral e^x2(sin x + cos x),dx
Então

Logo:

Passo 4

Precisamos agora calcular
integral e^x2(sin x + cos x),dx = 12integral e^xsin x,dx + 12integral e^xcos x,dx
Sabemos que
integral e^xsin x,dx = e^x2(sin x - cos x), integral e^xcos x,dx = e^x2(sin x + cos x)
Somando e simplificando obtemos
integral e^x2(sin x + cos x),dx = e^x2sin x + C

Passo 5

Portanto a primitiva geral de x e^x cos x é
F(x)=e^x2l(x(sin x + cos x) - sin xr) + C

Passo 6

Finalmente, avaliamos de 0 a pi2:
F(x)|0^pi2 = e^pi22l(tfracpi2-1r) - 0 = e^pi22l(tfracpi2-1r)

Resposta

e^pi2(pi - 2)4

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