Use a técnica de integração por partes combinada com a técnica de frações parciais para calcular integral0^1 ln (x^2+1) d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral0^1lnl(x^2+1r),dx usando integração por partes e frações parciais. O conteúdo envolve entender a fórmula de integração por partes e depois decompor a fração resultante para facilitar a integração.

Passo 2

Escolhemos u=ln(1+x^2) e dv=dx. Logo, du=2x1+x^2,dx e v=x. Aplicando integração por partes:
integral0^1ln(1+x^2),dx = l[xln(1+x^2)r]0^1 - integral0^1xcdot2x1+x^2,dx

Passo 3

Dentro da integral restante, note que x^21+x^2=1 - 11+x^2. Então:
integral0^1xcdot2x1+x^2,dx = 2integral0^1x^21+x^2,dx = 2integral0^1l(1 - 11+x^2r)dx

Passo 4

Agora integramos termo a termo e avaliamos de 0 a 1:
2l[integral0^11,dx - integral0^111+x^2,dxr] = 2l[1 - arctan(1)r] = 2l[1 - pi4r]
Juntando tudo:
integral0^1ln(1+x^2),dx = (1cdotln2 - 0) - 2l[1 - pi4r] = ln2 - 2 + pi2

Resposta

pi2 + ln2 - 2

Exercícios relacionados