Use o Teorema Fundamental do Cálculo para calcular a derivada das funções dadas a seguir:
(a) g(x)=integraltan x^x^2 1raiz2+t^4 d t

Passo 1

A gente tem a função
g(x)=integraltan x^x^21raiz2+t^4,dt
e o conteúdo é derivada de integral com limites que dependem de x. Para resolver, vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo junto com a regra da cadeia.

Passo 2

Segundo o Teorema Fundamental do Cálculo, se
G(x)=integrala(x)^b(x)f(t),dt,
então
G'(x)=f(b(x)),b'(x)-f(a(x)),a'(x)

Passo 3

Aqui temos
f(t)=1raiz2+t^4,
b(x)=x^2implies b'(x)=2x,
a(x)=tan ximplies a'(x)=sec^2x

Passo 4

Substituindo na fórmula do teorema, obtemos
g'(x)=1raiz2+(x^2)^4cdot(2x)-1raiz2+( tan x)^4cdot(sec^2x)
Note que ((x2)4=x^8.

Resposta

g'(x)=2xraiz2+x^8-sec^2xraiz2+tan^4x

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