Seja
uma função de classe
. Considere
. Calcule
e
em função de
e
.
Passo 1
Neste exercício temos
de classe
e definimos
. Vamos usar derivadas parciais e a regra da cadeia para calcular as segundas derivadas
e
.
Passo 2
Aplicamos a regra da cadeia para a derivada em relação a
: como
e
, temos
e
. Logo
Passo 3
Para obter
, derivamos
em relação a
. Primeiro calculamos as derivadas:
Então
Passo 4
Agora aplicamos a regra da cadeia para
: como
e
, obtemos
Passo 5
Para
, derivamos
em relação a
usando produto e cadeia. Primeiro:
Então
$$
F_{\theta\theta} = \partial_\theta(-r f_x\sin\theta) + \partial_\theta(r f_y\cos\theta).
F_{\theta\theta}
= r^2 f_{xx}\sin^2\theta - r^2(f_{xy}+f_{yx})\sin\theta\cos\theta + r^2 f_{yy}\cos^2\theta - r f_x\cos\theta - r f_y\sin\theta.
= r^2 f_{xx}\sin^2\theta - r^2(f_{xy}+f_{yx})\sin\theta\cos\theta + r^2 f_{yy}\cos^2\theta - r f_x\cos\theta - r f_y\sin\theta.
$$