Seja z=f(x, y) uma função de classe C^2. Considere F(r, theta)=f(r cos (theta), r sen(theta)). Calcule Fr r e Ftheta theta em função de fx, fy, fx x, fx y, fy x e fy y.

Passo 1

Neste exercício temos z = f(x,y) de classe C^2 e definimos F(r,theta) = f(rcostheta,,rsintheta). Vamos usar derivadas parciais e a regra da cadeia para calcular as segundas derivadas Frr e Fthetatheta.

Passo 2

Aplicamos a regra da cadeia para a derivada em relação a r: como x = rcostheta e y = rsintheta, temos xr = costheta e yr = sintheta. Logo
Fr = fx,xr + fy,yr = fxcostheta + fysintheta

Passo 3

Para obter Frr, derivamos Fr em relação a r. Primeiro calculamos as derivadas:
partialr fx = fxx costheta + fxy sintheta,
partialr fy = fyx costheta + fyy sintheta
Então
Frr = (partialr fx)costheta + (partialr fy)sintheta = fxxcos^2theta + (fxy+fyx)sinthetacostheta + fyysin^2theta

Passo 4

Agora aplicamos a regra da cadeia para partial/partialtheta: como xtheta = -rsintheta e ytheta = rcostheta, obtemos
Ftheta = fx,xtheta + fy,ytheta = -r fxsintheta + r fycostheta

Passo 5

Para Fthetatheta, derivamos Ftheta em relação a theta usando produto e cadeia. Primeiro:
partialtheta fx = fxx(-rsintheta) + fxy(rcostheta),
partialtheta fy = fyx(-rsintheta) + fyy(rcostheta)
Então
$$
F_{\theta\theta} = \partial_\theta(-r f_x\sin\theta) + \partial_\theta(r f_y\cos\theta).
Fthetatheta = partialtheta(-r fxsintheta) + partialtheta(r fycostheta) ó
F_{\theta\theta}
= r^2 f_{xx}\sin^2\theta - r^2(f_{xy}+f_{yx})\sin\theta\cos\theta + r^2 f_{yy}\cos^2\theta - r f_x\cos\theta - r f_y\sin\theta.
$$

Resposta

Frr = fxxcos^2theta + (fxy+fyx)sinthetacostheta + fyysin^2theta
Fthetatheta = r^2 fxxsin^2theta - r^2(fxy+fyx)sinthetacostheta + r^2 fyycos^2theta - r fxcostheta - r fysintheta

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