Resolva o seguinte problema de valor inicial
d Nd t+1t N=t ; N(2)=8

Passo 1

A equação é uma EDO linear de primeira ordem: dNdt + 1tN = t. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante. Precisamos do conteúdo de integrais e fator integrante para EDOs lineares.

Passo 2

O fator integrante mu(t) é dado por expl(integral 1t,dtr). Calculando a integral:
mu(t)=exp(ln t)=t

Passo 3

Multiplicamos toda a equação original por mu(t)=t:
tdNdt + N = t^2

Passo 4

Reconhecemos que o lado esquerdo é o derivado de tN:
ddtl(tNr)=tdNdt+N Portanto a equação fica
ddt(tN)=t^2

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a t:
tN=integral t^2,dt=t^33+C, onde C é a constante de integração. Usamos a condição inicial N(2)=8:
2cdot8=16=2^33+C=83+CRightarrow C=16-83=403

Passo 6

Voltando à solução geral, temos
tN=t^33+403Rightarrow N(t)=t^3/3+40/3t

Resposta

N(t)=t^23+403t.

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