Resolva o seguinte problema de valor inicial
d vd t+2 v=32 ; v(0)=0

Passo 1

No enunciado temos o problema de valor inicial dvdt + 2v = 32, com v(0)=0. O conteúdo é EDO linear de primeira ordem e vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Reescrevendo na forma padrão dvdt + p(t)v = g(t), aqui p(t)=2. Calculamos o fator integrante
mu(t)=e^integral p(t),dt=e^2t

Passo 3

Multiplicando a equação por mu(t), o lado esquerdo vira derivada do produto e o direito fica simples:
ddtl(v,e^2tr)=32,e^2t

Passo 4

Agora integramos ambos os lados em relação a t:
integralddt(v,e^2t),dt=integral32e^2t,dtRightarrow v,e^2t=16e^2t+C

Passo 5

Isolando v e aplicando v(0)=0 para achar C:
v(t)=16+Ce^-2t,
0=v(0)=16+Cimplies C=-16 Portanto
v(t)=16-16e^-2t=16l(1-e^-2tr)

Resposta

v(t)=16\bigl(1-e^{-2t}\bigr)

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