Resolva o seguinte problema de valor inicial
d qd t+q=4 cos 2 t ; q(0)=1

Passo 1

O problema é resolver a equação diferencial linear de primeira ordem com valor inicial
dqdt + q = 4cos2t, q(0)=1
O conteúdo envolvido é a solução de EDOs lineares de coeficientes constantes, usando o método de solução geral como soma da parte homogênea e de uma particular.

Passo 2

Primeiro, encontramos a solução da equação homogênea associada
dqhdt + qh = 0
Esta é separável ou reconhecimento imediato de que
qh(t)=C e^-t,
onde C é constante a determinar pelo valor inicial.

Passo 3

Agora buscamos uma solução particular qp da forma de “ansatz” para forçante cossenoidal:
qp(t)=Acos2t + Bsin2t
Calculamos a derivada
dqpdt=-2Asin2t + 2Bcos2t,
e substituímos em dqdt+q=4cos2t:

Passo 4

Somando
que deve ser igual a . Portanto, igualando coeficientes, surge o sistema
Resolvendo, de . Substituindo em ou , logo
Portanto

Passo 5

A solução geral é
q(t)=qh(t)+qp(t) = C e^-t + 45cos2t + 85sin2t
Usamos q(0)=1:
q(0)=C + 45=1 Longrightarrow C=1-45=15

Resposta

q(t)=15e^-t + 45cos2t + 85sin2t

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