Use o Teorema 4.3 para obter a transformada inversa indicada.
mathscr{L}^{-1}\left\{\frac{s+1}{s^{2}-4 s}\right\}

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de
\frac{s+1}{s^{2}-4s}
usando o Teorema 4.3, que garante linearidade da transformada de Laplace.

Passo 2

Fatoramos o denominador:
s^{2}-4s = s\,(s-4).
Logo podemos escrever
\frac{s+1}{s(s-4)} = \frac{A}{s} + \frac{B}{s-4}.

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por s(s-4), obtemos
s+1 = A(s-4) + B\,s = (A+B)\,s - 4A.
Comparando coeficientes de s e termo independente:
\begin{cases} A + B = 1,\\\\ -4A = 1, \end{cases}
de onde
A = -\tfrac14, \quad B = 1 - A = \tfrac54.

Passo 4

Substituindo A e B na decomposição:
\frac{s+1}{s(s-4)} = -\tfrac14\,\frac{1}{s} + \tfrac54\,\frac{1}{s-4}.
Pela linearidade e tabelas de transformada inversa temos
\mathscr{L}^{-1}\bigl\{\tfrac{1}{s}\bigr\} = 1, \qquad \mathscr{L}^{-1}\bigl\{\tfrac{1}{s-4}\bigr\} = e^{4t}.

Resposta

f(t) = -\frac14 + \frac54\,e^{4t}.

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