Use transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial
onde
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema usando a Transformada de Laplace. A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais:
Onde:
A Transformada de Laplace vai ajudar a transformar essa equação diferencial em uma equação algébrica mais fácil de resolver.
Passo 2
Primeiro, a gente aplica a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Lembrando que:
E:
Então, aplicando na equação:
Passo 3
Substituímos as condições iniciais $ y(0) = 0 $ e $ y’(0) = -1 $ na equação:
Simplificando:
Passo 4
Agora, precisamos calcular a Transformada de Laplace de $ f(t) $. Sabemos que:
Isso pode ser representado como:
Onde $ u(t) $ é a função degrau de Heaviside. Então:
Passo 5
Substituímos $ \mathcal{L}{f(t)} $ na equação anterior:
Isolando $ Y(s) $:
Passo 6
Agora, vamos decompor em frações parciais. Primeiro, observamos que:
Resolvendo para A, B e C, encontramos:
Então:
Passo 7
Aplicamos a Transformada Inversa de Laplace em cada termo:
Resposta
A solução da equação diferencial é: