Use transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial
y^prime prime+4 y=f(t), y(0)=0, y^prime(0)=-1
onde
f(t)= 1, & 0 <= t<1 0, & t >= 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema usando a Transformada de Laplace. A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais:
y'' + 4y = f(t), y(0) = 0, y'(0) = -1
Onde:
f(t) = 1, & 0 <= t <1 0, & t >= 1
A Transformada de Laplace vai ajudar a transformar essa equação diferencial em uma equação algébrica mais fácil de resolver.

Passo 2

Primeiro, a gente aplica a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Lembrando que:
Ly''(t) = s^2 Y(s) - s y(0) - y'(0)
E:
L4y(t) = 4 Y(s)
Então, aplicando na equação:
s^2 Y(s) - s y(0) - y'(0) + 4 Y(s) = Lf(t)

Passo 3

Substituímos as condições iniciais $ y(0) = 0 $ e $ y’(0) = -1 $ na equação:
y(0) = 0
Simplificando:
y'(0) = -1

Passo 4

Agora, precisamos calcular a Transformada de Laplace de $ f(t) $. Sabemos que:
f(t)
Isso pode ser representado como:
f(t) = 1, & 0 <= t <1 0, & t >= 1
Onde $ u(t) $ é a função degrau de Heaviside. Então:
f(t) = u(t) - u(t-1)

Passo 5

Substituímos $ \mathcal{L}{f(t)} $ na equação anterior:
Lf(t)
Isolando $ Y(s) $:
(s^2 + 4) Y(s) + 1 = 1 - e^-ss

Passo 6

Agora, vamos decompor em frações parciais. Primeiro, observamos que:
1s(s^2 + 4) = As + Bs + Cs^2 + 4
Resolvendo para A, B e C, encontramos:
A = 14, B = -14, C = 0
Então:
1 - e^-ss(s^2 + 4) = 14 ( 1s - ss^2 + 4 ) - e^-s4 ( 1s - ss^2 + 4 )

Passo 7

Aplicamos a Transformada Inversa de Laplace em cada termo:
y(t) = 14 ( 1 - cos(2t) ) - 14 ( u(t-1) (1 - cos(2(t-1)) ) )

Resposta

A solução da equação diferencial é:
y(t) = 14 (1 - cos(2t)) - 14 u(t-1) (1 - cos(2(t-1)))

Exercícios relacionados