A região limitada pela curva
e pela reta
gira em torno do eixo
para gerar um sólido. Determine o volume do sólido.
SOLUÇÃO
- Desenhe a região e esboce um segmento de reta que a atravesse perpendicularmente ao eixo de revolução (o segmento cinza da Figura 6.14).
- Determine os raios interno e externo do anel que seria gerado pelo segmento de reta se ele girasse em torno do eixo
juntamente com a região. Esses raios são as distâncias dos extremos dos segmentos ao eixo de revolução (Figura 6.14).
- Procure os limites de integração determinando as abscissas dos pontos de interseção da curva com a reta na Figura 6.14a.
- Calcule a integral do volume.
Passo 1
O exercício pede o volume do sólido gerado pela região limitada por y=x^2+1 e y=–x+3, girando em torno do eixo x. Vamos usar o método dos discos (ou anéis), que exige encontrar os raios interno e externo em função de x e os limites de integração.
Passo 2
Primeiro identificamos qual função está acima (raio externo R) e qual está abaixo (raio interno r) em relação ao eixo x, e achamos onde elas se cruzam:
Resolvendo
Resolvendo
obtém-se x=-2 e x=1.
Portanto,
R(x)= -x+3
e
r(x)= x^2+1,
os limites de integração são a=-2 e b=1.
Passo 3
Montamos o volume pelo método dos anéis:
Passo 4
Expandindo o integrando:
então
A antiderivada é
Passo 5
Por fim, avaliamos de -2 a 1: