A região limitada pela curva y=x^2+1 e pela reta y=-x+3 gira em torno do eixo x para gerar um sólido. Determine o volume do sólido.

SOLUÇÃO

  1. Desenhe a região e esboce um segmento de reta que a atravesse perpendicularmente ao eixo de revolução (o segmento cinza da Figura 6.14).
  2. Determine os raios interno e externo do anel que seria gerado pelo segmento de reta se ele girasse em torno do eixo x juntamente com a região. Esses raios são as distâncias dos extremos dos segmentos ao eixo de revolução (Figura 6.14).
& Raio externo: R(x)=-x+3 & Raio interno: r(x)=x^2+1
  1. Procure os limites de integração determinando as abscissas dos pontos de interseção da curva com a reta na Figura 6.14a.
x^2+1 & =-x+3 x^2+x-2 & =0 (x+2)(x-1) & =0 x=-2, x & =1
  1. Calcule a integral do volume.
rlr V & =integrala^b pi([R(x)]^2-[r(x)]^2) d x & =integral-2^1 pi((-x+3)^2-(x^2+1)^2) d x l Valores obtidos nos passos 2e 3 & =integral-2^1 pi(8-6 x-x^2-x^4) d x & =pi[8 x-3 x^2-x^33-x^55]-2^1=117 pi5

Passo 1

O exercício pede o volume do sólido gerado pela região limitada por y=x^2+1 e y=–x+3, girando em torno do eixo x. Vamos usar o método dos discos (ou anéis), que exige encontrar os raios interno e externo em função de x e os limites de integração.

Passo 2

Primeiro identificamos qual função está acima (raio externo R) e qual está abaixo (raio interno r) em relação ao eixo x, e achamos onde elas se cruzam:
Resolvendo
x^2+1 = -x+3
obtém-se x=-2 e x=1.
Portanto,
R(x)= -x+3
e
r(x)= x^2+1,
os limites de integração são a=-2 e b=1.

Passo 3

Montamos o volume pelo método dos anéis:
V = integral-2^1 pil(R(x)^2 - r(x)^2r),dx = integral-2^1 pil((-x+3)^2 - (x^2+1)^2r),dx

Passo 4

Expandindo o integrando:
(-x+3)^2 = x^2 -6x +9, (x^2+1)^2 = x^4 +2x^2 +1,
então
(-x+3)^2 - (x^2+1)^2 = -x^4 - x^2 -6x +8
A antiderivada é
F(x) = pil(8x - 3x^2 - tfracx^33 - tfracx^55r)

Passo 5

Por fim, avaliamos de -2 a 1:
V = F(1)-F(-2) = pil[(8-3-tfrac13-tfrac15) -(-16-12+tfrac83+tfrac325)r] = 117pi5

Resposta

V=117pi5

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