Avalie a integral.
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Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
Informações relevantes do enunciado:
- A função a integrar é uma função racional em
obtida a partir de dividida por . - É uma integral indefinida; o resultado deve incluir a constante de integração
. - Não há restrição sobre
além de (já que aparece no denominador).
Passo 2
Primeiro simplificamos a expressão algébrica antes de integrar: expandir o quadrado no numerador e dividir termo a termo por
. Expansão:
Logo a integranda fica
Passo 3
Agora aplicamos as regras de potências para simplificar cada termo. Subtraindo expoentes quando dividimos potências de mesma base:
Portanto a integral passa a ser
Passo 4
Usamos a regra de potência para integrais: para
,
Vamos aplicar termo a termo:
- Para
: , então
- Para
: fatoramos o 6 e integramos com ,
- Para
: fatoramos o 9 e integramos com ,
Passo 5
Somando os termos integrados, obtemos
Agora escrevemos isso como uma única fração com denominador comum
. Primeiro reescrever cada potência negativa com denominador
:
Colocando tudo sobre o mesmo denominador
:
Passo 6
Podemos fazer uma verificação rápida: derivando
deve retornar a função original
. A conta da derivada confirma a consistência (omito detalhes da diferenciação aqui por ser rotina), então a antiderivada está correta.