Avalie a integral.
\int \frac{\left(t^{2}+3\right)^{2}}{t^{6}} d t
\frac{-5 t^{4}+10 t^{2}-9}{5 t^{5}}+C
\frac{-5 t^{4}-10 t^{2}+9}{5 t^{5}}+C
\frac{5 t^{4}-10 t^{2}-9}{5 t^{5}}+C
\frac{-5 t^{4}-10 t^{2}-9}{5 t^{5}}+C
\frac{-5 t^{4}-10 t^{2}-9 t}{5 t^{5}}+C

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int \frac{\left(t^{2}+3\right)^{2}}{t^{6}}\,dt.
Informações relevantes do enunciado:
  • A função a integrar é uma função racional em t obtida a partir de \left(t^{2}+3\right)^{2} dividida por t^{6}.
  • É uma integral indefinida; o resultado deve incluir a constante de integração C.
  • Não há restrição sobre t além de t\neq 0 (já que aparece t^{6} no denominador).

Passo 2

Primeiro simplificamos a expressão algébrica antes de integrar: expandir o quadrado no numerador e dividir termo a termo por t^{6}. Expansão:
\left(t^{2}+3\right)^{2}=t^{4}+6t^{2}+9.
Logo a integranda fica
\frac{t^{4}+6t^{2}+9}{t^{6}}=\frac{t^{4}}{t^{6}}+\frac{6t^{2}}{t^{6}}+\frac{9}{t^{6}}.

Passo 3

Agora aplicamos as regras de potências para simplificar cada termo. Subtraindo expoentes quando dividimos potências de mesma base:
\frac{t^{4}}{t^{6}}=t^{4-6}=t^{-2},\qquad \frac{6t^{2}}{t^{6}}=6t^{2-6}=6t^{-4},\qquad \frac{9}{t^{6}}=9t^{-6}.
Portanto a integral passa a ser
\int \left(t^{-2}+6t^{-4}+9t^{-6}\right)\,dt.

Passo 4

Usamos a regra de potência para integrais: para n\neq -1,
\int t^{n}\,dt=\frac{t^{n+1}}{n+1}+C.
Vamos aplicar termo a termo:
  • Para t^{-2}: n=-2, então
\int t^{-2}\,dt=\frac{t^{-1}}{-1}=-t^{-1}.
  • Para 6t^{-4}: fatoramos o 6 e integramos t^{-4} com n=-4,
6\int t^{-4}\,dt=6\cdot\frac{t^{-3}}{-3}=6\cdot\left(-\frac{1}{3}t^{-3}\right)=-2t^{-3}.
  • Para 9t^{-6}: fatoramos o 9 e integramos t^{-6} com n=-6,
9\int t^{-6}\,dt=9\cdot\frac{t^{-5}}{-5}=-\frac{9}{5}t^{-5}.

Passo 5

Somando os termos integrados, obtemos
- t^{-1}-2t^{-3}-\frac{9}{5}t^{-5}+C.
Agora escrevemos isso como uma única fração com denominador comum 5t^{5}. Primeiro reescrever cada potência negativa com denominador t^{5}:
- t^{-1}=-\frac{1}{t}=-\frac{t^{4}}{t^{5}},\qquad -2t^{-3}=-\frac{2}{t^{3}}=-\frac{2t^{2}}{t^{5}},\qquad -\frac{9}{5}t^{-5}=-\frac{9}{5t^{5}}.
Colocando tudo sobre o mesmo denominador 5t^{5}:
- t^{-1}-2t^{-3}-\frac{9}{5}t^{-5} =\frac{-5t^{4}-10t^{2}-9}{5t^{5}}+C.

Passo 6

Podemos fazer uma verificação rápida: derivando \dfrac{-5t^{4}-10t^{2}-9}{5t^{5}} deve retornar a função original \dfrac{(t^{2}+3)^{2}}{t^{6}}. A conta da derivada confirma a consistência (omito detalhes da diferenciação aqui por ser rotina), então a antiderivada está correta.

Resposta

\displaystyle \frac{-5 t^{4}-10 t^{2}-9}{5 t^{5}}+C

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