Resolva o seguinte problema de valor inicial:
com as condições iniciais
e
.
Passo 1
Então, temos um problema de equação diferencial de segunda ordem: $ y’’ + 2y’ + y = 0 $. As condições iniciais são $ y(0) = 3 $ e $ y’(0) = -1 $. Vamos precisar usar o método das equações características para resolver essa equação e encontrar a solução que satisfaz essas condições.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação característica associada à equação diferencial. Para uma equação da forma $ y’’ + a y’ + b y = 0 $, a equação característica é $ r^2 + a r + b = 0 $. No nosso caso, $ a = 2 $ e $ b = 1 $. Então, a equação característica é:
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação quadrática $ r^2 + 2r + 1 = 0 $. Podemos fatorar esse polinômio:
Portanto, temos uma raiz dupla $ r = -1 $.
Passo 4
Com uma raiz dupla $ r = -1 $, a solução geral da equação diferencial é:
Aqui, $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 5
Vamos aplicar a primeira condição inicial $ y(0) = 3 $. Substituindo $ t = 0 $ na solução geral:
Então, $ C_1 = 3 $.
Passo 6
Agora, vamos usar a segunda condição inicial $ y’(0) = -1 $. Primeiro, precisamos calcular a derivada da solução geral:
Simplificando:
Substituindo $ t = 0 $ e $ C_1 = 3 $:
Então, $ C_2 = 2 $.
Resposta
A solução do problema é: