Resolva o seguinte problema de valor inicial:
y^prime prime+2 y^prime+y=0 com as condições iniciais y(0)=3 e y^prime(0)=-1.

Passo 1

Então, temos um problema de equação diferencial de segunda ordem: $ y’’ + 2y’ + y = 0 $. As condições iniciais são $ y(0) = 3 $ e $ y’(0) = -1 $. Vamos precisar usar o método das equações características para resolver essa equação e encontrar a solução que satisfaz essas condições.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação característica associada à equação diferencial. Para uma equação da forma $ y’’ + a y’ + b y = 0 $, a equação característica é $ r^2 + a r + b = 0 $. No nosso caso, $ a = 2 $ e $ b = 1 $. Então, a equação característica é:
y'' + a y' + b y = 0

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação quadrática $ r^2 + 2r + 1 = 0 $. Podemos fatorar esse polinômio:
r^2 + 2r + 1 = 0
Portanto, temos uma raiz dupla $ r = -1 $.

Passo 4

Com uma raiz dupla $ r = -1 $, a solução geral da equação diferencial é:
r = -1
Aqui, $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 5

Vamos aplicar a primeira condição inicial $ y(0) = 3 $. Substituindo $ t = 0 $ na solução geral:
y(0) = 3
t = 0
Então, $ C_1 = 3 $.

Passo 6

Agora, vamos usar a segunda condição inicial $ y’(0) = -1 $. Primeiro, precisamos calcular a derivada da solução geral:
y'(0) = -1
Simplificando:
y'(t) = C2 e^-t + (C1 + C2 t)(-e^-t)
Substituindo $ t = 0 $ e $ C_1 = 3 $:
y'(t) = (C2 - C1 - C2 t) e^-t
t = 0
Então, $ C_2 = 2 $.

Resposta

A solução do problema é:
y(t) = (3 + 2t) e^-t

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