Resolva o seguinte problema de valor inicial:
com as condições iniciais
e
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial para a EDO linear homogênea de segunda ordem
com as condições
Passo 2
Como é uma equação homogênea com coeficientes constantes, assumimos uma solução do tipo
. Calculamos as derivadas:
e substituímos na EDO.
Passo 3
Substituindo na EDO, obtemos a equação característica:
Dividindo por
Passo 4
Resolvendo
temos as raízes
Passo 5
Com essas raízes, a solução geral da EDO é
onde
Passo 6
Para aplicar as condições iniciais, calculamos a derivada da solução geral:
Em
Passo 7
Resolvendo esse sistema, somamos as equações para eliminar
:
e daí