Resolva o seguinte problema de valor inicial:
y^prime prime-2 y^prime-3 y=0 com as condições iniciais y(0)=2 e y^prime(0)=4.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial para a EDO linear homogênea de segunda ordem
y''-2y'-3y=0
com as condições y(0)=2 e y'(0)=4. Esse conteúdo faz parte de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes, e vamos precisar montar e resolver a equação característica.

Passo 2

Como é uma equação homogênea com coeficientes constantes, assumimos uma solução do tipo y=e^rt. Calculamos as derivadas:
y'=r e^rt,
y''=r^2 e^rt,
e substituímos na EDO.

Passo 3

Substituindo na EDO, obtemos a equação característica:
r^2 e^rt-2r e^rt-3e^rt=0
Dividindo por e^rt (que nunca é zero), fica
r^2-2r-3=0

Passo 4

Resolvendo
r^2-2r-3=0,
temos as raízes
r1=3e r2=-1

Passo 5

Com essas raízes, a solução geral da EDO é
y(t)=C1e^3t+C2e^-t,
onde C1 e C2 são constantes a determinar.

Passo 6

Para aplicar as condições iniciais, calculamos a derivada da solução geral:
y'(t)=3C1e^3t-C2e^-t
Em t=0, as condições viram o sistema:
C1+C2=2,3C1- C2=4

Passo 7

Resolvendo esse sistema, somamos as equações para eliminar C2:
4C1=6implies C1=tfrac32,
e daí C2=2-C1=tfrac12. Com isso, podemos obter a solução que satisfaz as condições iniciais.

Resposta

y(t)=tfrac32e^3t+tfrac12e^-t

Exercícios relacionados