Resolva o seguinte problema de valor inicial:
(e^y-y) x^2 d yd x=1, y(1)=2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial que envolve uma equação diferencial. A equação que temos é:
(e^y-y) x^2 d yd x=1, y(1)=2
Aqui, estamos trabalhando com equações diferenciais, especificamente uma equação de primeira ordem. Para resolver isso, vamos precisar separar as variáveis e integrar ambos os lados. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos tentar colocar a equação em uma forma onde possamos separar as variáveis $ y $ e $ x $. Para isso, vamos dividir os dois lados da equação por $ x^{2} $:
y

Passo 3

Agora, queremos separar as variáveis $ y $ e $ x $. Isso significa que vamos deixar todos os termos que envolvem $ y $ de um lado e os que envolvem $ x $ do outro lado. Multiplicando ambos os lados por $ dx $ e dividindo por $ e^{y} - y $, temos:
y

Passo 4

Agora que as variáveis estão separadas, podemos integrar ambos os lados. Primeiro, integramos o lado esquerdo em relação a $ y $:
y
Vamos calcular essa integral:
integral (e^y - y) dy
onde $ C $ é a constante de integração.

Passo 5

Agora, integramos o lado direito em relação a $ x $:
x
Aqui, também temos uma constante de integração, mas podemos combinar as constantes dos dois lados em uma única constante.

Passo 6

Juntando as integrais resultantes, temos:
e^y - 12 y^2 = -1x + C

Passo 7

Agora, usamos a condição inicial $ y(1) = 2 $ para encontrar o valor de $ C $. Substituindo $ x = 1 $ e $ y = 2 $ na equação:
y(1) = 2
Simplificando:
C

Passo 8

Substituindo o valor de $ C $ de volta na equação geral, temos a solução implícita do problema:
C

Resposta

A solução implícita do problema é:
e^y - 12 y^2 = e^2 - 1 - 1x

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