Resolva o seguinte problema de valor inicial:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial que envolve uma equação diferencial. A equação que temos é:
Aqui, estamos trabalhando com equações diferenciais, especificamente uma equação de primeira ordem. Para resolver isso, vamos precisar separar as variáveis e integrar ambos os lados. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos tentar colocar a equação em uma forma onde possamos separar as variáveis $ y $ e $ x $. Para isso, vamos dividir os dois lados da equação por $ x^{2} $:
Passo 3
Agora, queremos separar as variáveis $ y $ e $ x $. Isso significa que vamos deixar todos os termos que envolvem $ y $ de um lado e os que envolvem $ x $ do outro lado. Multiplicando ambos os lados por $ dx $ e dividindo por $ e^{y} - y $, temos:
Passo 4
Agora que as variáveis estão separadas, podemos integrar ambos os lados. Primeiro, integramos o lado esquerdo em relação a $ y $:
Vamos calcular essa integral:
onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 5
Agora, integramos o lado direito em relação a $ x $:
Aqui, também temos uma constante de integração, mas podemos combinar as constantes dos dois lados em uma única constante.
Passo 6
Juntando as integrais resultantes, temos:
Passo 7
Agora, usamos a condição inicial $ y(1) = 2 $ para encontrar o valor de $ C $. Substituindo $ x = 1 $ e $ y = 2 $ na equação:
Simplificando:
Passo 8
Substituindo o valor de $ C $ de volta na equação geral, temos a solução implícita do problema:
Resposta
A solução implícita do problema é: