Verifique se y(x)=cos (x) é uma solução da equação diferencial y^(4)(x)-y^prime prime(x)=4 cos (x).

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O exercício pede para verificar se a função $ y(x) = \cos(x) $ é uma solução da equação diferencial $ y^{(4)}(x) - y’’(x) = 4 \cos(x) $. Isso envolve calcular as derivadas de $ y(x) $ até a quarta ordem e substituir na equação para ver se iguala o lado direito.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que $ y(x) = \cos(x) $. Precisamos encontrar a primeira derivada de $ y $. A derivada de $ \cos(x) $ em relação a $ x $ é:
y(x) = cos(x)

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada de $ y(x) $. A derivada de $ -\sin(x) $ é:
y(x)

Passo 4

Seguimos para a terceira derivada. Derivando $ -\cos(x) $:
-cos(x)

Passo 5

Por fim, calculamos a quarta derivada. Derivando $ \sin(x) $:
sin(x)

Passo 6

Agora que temos $ y’’’’(x) $ e $ y’’(x) $, vamos substituir na equação diferencial dada:
y''''(x)

Passo 7

A equação diferencial original é $ y^{(4)}(x) - y’’(x) = 4\cos(x) $. Comparando com o que obtivemos:
y^(4)(x) - y''(x) = 4cos(x)

Resposta

Não, $ y(x) = \cos(x) $ não é uma solução da equação diferencial $ y^{(4)}(x) - y’’(x) = 4\cos(x) $.

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