Classificar cada uma das seguintes equações diferenciais quanto ao tipo (ordinária ou parcial) e ordem, e no caso, em que se tratar de uma EDO, verificar se a mesma é linear.
d^2 gd x^2+d gd x+g=sin (x)

Passo 1

Então, temos uma equação diferencial para classificar. Vamos analisar se é uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) ou Parcial (EDP), qual é a sua ordem e, se for uma EDO, verificar se ela é linear. Para isso, vamos precisar entender o que são EDOs e EDPs, além de saber identificar a ordem e testar a linearidade.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a diferença entre uma EDO e uma EDP. Uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) envolve derivadas de funções de apenas uma variável independente, enquanto uma Equação Diferencial Parcial (EDP) envolve derivadas de funções de múltiplas variáveis independentes.
No nosso caso, a equação é:
d^2 gd x^2 + d gd x + g = sin(x)
Aqui, a função $ g $ depende apenas de $ x $, então estamos lidando com uma EDO.

Passo 3

Agora, vamos determinar a ordem da EDO. A ordem é a maior derivada presente na equação.
Na nossa equação, temos:
  • d^2 gd x^2 que é a segunda derivada,
  • d gd x que é a primeira derivada,
  • e $ g $ que é a função em si.
A maior derivada é a segunda, então a ordem da equação é 2.

Passo 4

Como a equação é uma EDO, vamos verificar se ela é linear. Uma EDO é linear se a função desconhecida e suas derivadas aparecem apenas em termos lineares, ou seja, não estão multiplicadas entre si nem passam por funções não lineares.
Na nossa equação:
d^2 gd x^2 + d gd x + g = sin(x)
O $ g $, g e d gd x aparecem apenas de forma linear (sem produtos ou funções não lineares deles). Portanto, a equação é linear.

Resposta

A equação diferencial é uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de segunda ordem e é linear.

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