Resolva o seguinte problema.
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a EDO
Esse é um caso de equação diferencial da forma
. Vamos verificar se ela é exata ou se precisa de fator integrante.
Passo 2
Identificamos
Para checar exatidão comparamos
Como não são iguais, não é exata.
Passo 3
Para buscar um fator integrante dependente só de
, calculamos
que depende apenas de
(é constante na verdade). Logo o fator integrante é
Passo 4
Multiplicamos toda a EDO por
:
Agora temos uma nova equação exata com
Passo 5
Como é exata, existe
tal que
Integramos
em relação a
:
Fazendo as integrações por partes e combinando termos, obtemos
Passo 6
Para determinar
, igualamos
a
:
Isso dá
, então
é constante. A solução geral implícita é
ou, reorganizando,
Resposta
(x{2}+y{2})e^{-2x}=C