Resolva o seguinte problema.
(x^2+y^2-x) d x-y d y=0.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO
(x^2+y^2-x),dx - y,dy = 0
Esse é um caso de equação diferencial da forma M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0. Vamos verificar se ela é exata ou se precisa de fator integrante.

Passo 2

Identificamos
M(x,y) = x^2 + y^2 - x,
N(x,y) = -y
Para checar exatidão comparamos
partial Mpartial y = 2y,
partial Npartial x = 0
Como não são iguais, não é exata.

Passo 3

Para buscar um fator integrante dependente só de x, calculamos
partial M/partial y - partial N/partial xN = 2y - 0-y = -2,
que depende apenas de x (é constante na verdade). Logo o fator integrante é
mu(x) = e^integral -2,dx = e^-2x

Passo 4

Multiplicamos toda a EDO por mu(x):
e^-2x(x^2+y^2-x),dx - y e^-2x,dy = 0
Agora temos uma nova equação exata com
widetilde M = e^-2x(x^2+y^2-x),
widetilde N = -y e^-2x

Passo 5

Como é exata, existe psi(x,y) tal que
partial psipartial x = widetilde M,
partial psipartial y = widetilde N
Integramos widetilde M em relação a x:
psi(x,y) = integral e^-2x(x^2-x+y^2),dx + h(y)
Fazendo as integrações por partes e combinando termos, obtemos
psi(x,y) = -tfrac12 e^-2x(x^2+y^2) + h(y)

Passo 6

Para determinar h(y), igualamos partialpsi/partial y a widetilde N:
partial psipartial y = -y e^-2x + h'(y) = -y e^-2x
Isso dá h'(y)=0, então h(y) é constante. A solução geral implícita é
-tfrac12 e^-2x(x^2+y^2) = C1
ou, reorganizando,

Resposta

(x{2}+y{2})e^{-2x}=C

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