Resolva os seguinte problemas de valor inicial por meio de transformada de Laplace.
y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}-3 y=3 t e^{2 t}, y(0)=1, y^{\prime}(0)=0.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y'' - 2y' - 3y = 3t\,e^{2t}, \quad y(0)=1,\; y'(0)=0
usando a transformada de Laplace.
Conteúdo: transformada de Laplace de derivadas e de funções do tipo t e^{at}, além de decomposição em frações parciais e transformada inversa.

Passo 2

Aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados, usando
\mathcal{L}\{y''\} = s^2Y(s) - s\,y(0) - y'(0), \quad \mathcal{L}\{y'\} = sY(s) - y(0),
onde Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}. Obtemos
s^2Y(s) - s\cdot 1 - 0 -2\bigl(sY(s)-1\bigr) -3Y(s) = \mathcal{L}\{3t\,e^{2t}\}.
Sabendo que \mathcal{L}\{t\,e^{2t}\} = \tfrac{1}{(s-2)^2}, vem
\bigl(s^2 - 2s -3\bigr)Y(s) - s + 2 = \frac{3}{(s-2)^2}.

Passo 3

Isolamos Y(s). Como s^2-2s-3=(s-3)(s+1),
Y(s) = \frac{s-2}{(s-3)(s+1)} + \frac{3}{(s-2)^2\,(s-3)(s+1)}.

Passo 4

Fazemos frações parciais em cada parcela:
  1. Para \displaystyle\frac{s-2}{(s-3)(s+1)} achamos
\frac{s-2}{(s-3)(s+1)} = \frac{1/4}{s-3} + \frac{3/4}{s+1}.
  1. Para \displaystyle\frac{3}{(s-2)^2(s-3)(s+1)} usamos
\frac{3}{(s-2)^2(s-3)(s+1)} = \frac{A}{s-2} + \frac{B}{(s-2)^2} + \frac{C}{s-3} + \frac{D}{s+1},
e encontramos
A = -\tfrac{2}{3},\quad B = -1,\quad C = \tfrac{3}{4},\quad D = -\tfrac{1}{12}.
Somando com a primeira parcela agrupamos termos iguais e obtemos
Y(s) = \frac{1}{s-3} + \frac{2/3}{s+1} - \frac{2/3}{s-2} - \frac{1}{(s-2)^2}.

Passo 5

Aplicamos a transformada inversa termo a termo:
\mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\tfrac{1}{s-3}\Bigr\} = e^{3t},\quad \mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\tfrac{2/3}{s+1}\Bigr\} = \tfrac{2}{3}e^{-t},
\mathcal{L}^{-1}\Bigl\{-\tfrac{2/3}{s-2}\Bigr\} = -\tfrac{2}{3}e^{2t},\quad \mathcal{L}^{-1}\Bigl\{-\tfrac{1}{(s-2)^2}\Bigr\} = -t\,e^{2t}.
Somando tudo,
y(t) = e^{3t} + \frac{2}{3}e^{-t} - \frac{2}{3}e^{2t} - t\,e^{2t}.

Resposta

y(t) = e^{3t} + \frac{2}{3}e^{-t} - \frac{2}{3}e^{2t} - t\,e^{2t}.

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