Calcule a transformada de Laplace das funções indicadas.
senh at.

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace da função \operatorname{sinh}(a t). Vamos usar a definição
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-s t}f(t)\,dt
e propriedades básicas de integrais de exponenciais.

Passo 2

Escrevemos \operatorname{sinh}(a t) em termos de exponenciais:
\operatorname{sinh}(a t)=\frac{e^{a t}-e^{-a t}}{2}.

Passo 3

Substituindo na definição de Laplace, obtemos
\mathcal{L}\{\operatorname{sinh}(a t)\}(s) =\int_{0}^{\infty}e^{-s t}\,\frac{e^{a t}-e^{-a t}}{2}\,dt =\frac{1}{2}\int_{0}^{\infty}\bigl(e^{-(s-a)t}-e^{-(s+a)t}\bigr)\,dt.

Passo 4

Para \Re(s)>\lvert a\rvert, cada integral converge e vale
\int_{0}^{\infty}e^{-(s-a)t}dt=\frac{1}{s-a},\quad \int_{0}^{\infty}e^{-(s+a)t}dt=\frac{1}{s+a}.

Passo 5

Logo,
\mathcal{L}\{\operatorname{sinh}(a t)\}(s) =\frac{1}{2}\Bigl(\frac{1}{s-a}-\frac{1}{s+a}\Bigr) =\frac{(s+a)-(s-a)}{2(s^2-a^2)} =\frac{a}{s^2-a^2}.

Resposta

\boxed{\mathcal{L}\{\operatorname{sinh}(a t)\}(s)=\frac{a}{s^2-a^2},\quad \Re(s)>\lvert a\rvert.}

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