Resolva o seguinte PVI
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial do tipo PVI (Problema de Valor Inicial). O enunciado é:
Aqui, a equação é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o fator integrante, que ajuda a simplificar a equação e encontrar a solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os termos da equação. Ela está na forma padrão:
Onde:
O próximo passo é encontrar o fator integrante
, que é dado por:
Passo 3
Vamos calcular a integral de
:
Desconsiderando a constante de integração (já que será multiplicada pelo fator), temos:
Passo 4
Agora, multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante
:
Simplificando o lado direito:
Então, a equação fica:
Passo 5
Perceba que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto
:
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
Isso nos dá:
Passo 6
Agora, resolvemos para
:
Passo 7
Aplicamos a condição inicial
para encontrar a constante
:
Sabemos que
, então:
Passo 8
Substituindo
na solução geral:
Resposta
A solução do PVI é: