Resolva o seguinte PVI
l d yd x+sen(x) y=e^cos (x) y(0)=-2,4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial do tipo PVI (Problema de Valor Inicial). O enunciado é:
l d yd x+sen(x) y=e^cos (x) y(0)=-2,4
Aqui, a equação é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o fator integrante, que ajuda a simplificar a equação e encontrar a solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os termos da equação. Ela está na forma padrão:
dydx + P(x) y = Q(x)
Onde:
  • mu(x) = e^integral P(x) dx
O próximo passo é encontrar o fator integrante , que é dado por:

Passo 3

Vamos calcular a integral de integral sen(x) dx = -cos(x) + C :
mu(x) = e^-cos(x)
Desconsiderando a constante de integração (já que será multiplicada pelo fator), temos:

Passo 4

Agora, multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante e^-cos(x) dydx + e^-cos(x) sen(x) y = e^-cos(x) e^cos(x) :
e^-cos(x) e^cos(x) = e^0 = 1
Simplificando o lado direito:
e^-cos(x) dydx + e^-cos(x) sen(x) y = 1
Então, a equação fica:

Passo 5

Perceba que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto ddx [ e^-cos(x) y ] = 1 :
integral ddx [ e^-cos(x) y ] dx = integral 1 dx
Agora, integramos ambos os lados em relação a e^-cos(x) y = x + C :
Isso nos dá:

Passo 6

Agora, resolvemos para y = e^cos(x) (x + C) :

Passo 7

Aplicamos a condição inicial -2,4 = e^cos(0) (0 + C) para encontrar a constante -2,4 = e^1 cdot C C = -2,4e :
Sabemos que , então:

Passo 8

Substituindo y = e^cos(x) ( x - 2,4e ) na solução geral:

Resposta

A solução do PVI é:
y(x) = e^cos(x) ( x - 2,4e )

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