(2.0) Resolva o seguinte PVI
l y^(3)-2 y^prime+4 y=0 y(0)=1 y^prime(0)=-1 y^prime prime(0)=1

Passo 1

O problema é um valor inicial para a EDO linear homogênea de 3ª ordem com coeficientes constantes
y^(3) - 2y' + 4y = 0,
com condições
y(0)=1, y'(0)=-1, y''(0)=1
Para resolver, vamos montar a equação característica, achar suas raízes, escrever a solução geral e usar as condições iniciais para determinar as constantes.

Passo 2

Escrevemos a equação característica associada:
r^3 - 2r + 4 = 0
Testando r=-2 obtemos
(-2)^3 -2(-2) +4 = -8 +4 +4 = 0,
portanto r=-2 é raiz. Fazendo a divisão polinomial por (r+2) encontramos o quociente
r^2 - 2r + 2 = 0,
cuja fórmula de Bhaskara dá
r = 2 pm raiz(-2)^2 -4cdot1cdot22 = 2pmraiz-42 =1pm i

Passo 3

Como as raízes são r1=-2 e r2,3=1pm i, a solução geral real é
y(x) = C1 e^-2x + e^xl(C2cos x + C3sin xr)

Passo 4

Vamos impor as condições iniciais. Note que, para
y1(x)=C1 e^-2x, y2(x)=e^x(C2cos x + C3sin x),
temos
y1(0)=C1,;y1'(0)=-2C1,;y1''(0)=4C1,
e
y2(0)=C2,; y2'(0)=C2+C3,; y2''(0)=2C3
Somando as partes:
y(0)=C1+C2=1,
y'(0)=-2C1+(C2+C3)=-1,
y''(0)=4C1+2C3=1

Passo 5

O sistema é
C1 + C2 = 1, -2C1 + C2 + C3 = -1, 4C1 + 2C3 = 1
Da primeira equação C2=1-C1. Substituindo na segunda:
-2C1 + (1-C1) + C3 = -1 ;Rightarrow;-3C1 + C3 = -2 ;Rightarrow;C3 = 3C1 - 2
Na terceira:
4C1 + 2(3C1-2)=1 ;Rightarrow;4C1+6C1 -4=1 ;Rightarrow;10C1=5 ;Rightarrow;C1=tfrac12
Logo
C3 = 3cdottfrac12 -2 = -tfrac12, C2 = 1-tfrac12 = tfrac12

Passo 6

Substituindo C1,C2,C3 na solução geral, obtemos
y(x) = tfrac12,e^-2x + e^xl(tfrac12cos x - tfrac12sin xr) = tfrac12l[e^-2x+e^x(cos x-sin x)r]

Resposta

boxedy(x)=12l[e^-2x+e^x(cos x-sin x)r]

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